Vektorraum unendliche Dimension möglich?

Die Dimension eines Vektorraums wird ja durch die Mächtigkeit einer Basis des VR definiert. Angenommen wir haben X eine unendl. Menge linear unabhängiger Vektoren, würde man dann davon Sprechen, dass dim span(X) = unendl oder ist die Dimension nur endlich definiert?

Answer 1

[Roderic]

https://ifm.mathematik.uni-wuerzburg.de/~jordan/VertiefungMathematikWiSe12-13/Kapitel5.pdf

Comments

[AOMkayyy]

Perfekt, Dankeschön!

[Roderic]

@AOMkayyy

zB. die Menge aller Polynomfunktionen bilden einen unendlichdimensionalen Vektorraum.

[Roderic]

@Roderic

...mit der Basis { x , x² , x³ , ... }

[RIDDICC]

@Roderic

grünau... sagt die WP auch als Beispiel... vor 7 Minuten... :)

Answer 2

[RIDDICC]

1. diese Menge X geht gar nich, glaub' ich...
2. die sähe ja z. B. so aus:
3. $X=\left\{x_n:n\in\mathbb{N}\wedge x_n\in\left\{0\right\}^n\times\left\{1\right\}\times\left\{0\right\}^{\infty}\right\}$
4. oda? was meinst du?
5. na gut... Roderic meint was anderes... und die Univ. Würzburg auch... dann geht es wohl doch irgendwie... aber ich kann's mir nich vorstellen...
6. da die WP weiß es: https://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum#Polynomr%C3%A4ume
7. Die Menge der Monome
8. LOL

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Comments

[Roderic]

... aber ich kann's mir nich vorstellen...

Das erste, was unsere Analysis Prof in seiner ersten Vorlesung gesagt hat, war:

"Verabschieden sie sich bitte von der Vorstellung, sich das vorstellen zu wollen, was ich ihnen heute und in den weiteren Vorlesungen vorstellen werde."

;-)

[RIDDICC]

@Roderic

kicher

[Halbrecht]

@RIDDICC

Ja, bei Mathematik sollte sich bei einer neuen Stelle vorstellen, sonst besser nicht.

Wobei mit die n-dimensionale Kugel bis n-1 keine Probleme bereitet.

[Roderic]

@Halbrecht

Alles eine Frage des Abstraktionsvermögens.

[Halbrecht]

@Roderic

oder der Bereitschaft , jegliche Anschauung hinter sich zu lassen und nur auf die Kraft der Symbole und deren Beziehungen zu vertrauen.

[Roderic]

@Halbrecht

...was auf das gleiche hinausläuft.

[AOMkayyy]

Sorry ich verstehe nicht wirklich wie die von dir definierte Menge zu verstehen ist. Auch wenn ich nicht weiß ob es gültig ist, habe ich mir die Menge einfach mit unendl. dimensionalen Vektoren vorgestellt, also unendl. Zeilenanzahl, dann ist es ja klar, dass es unendl. viele linear unabhängige Vektoren gibt. In dem Skript von Roderic sind jedoch ordentliche Beispiele.

[RIDDICC]

@AOMkayyy

ja... in der WP ja auch... hab 's noch korrigiert...

Answer 3

[gogogo]

Das konnte ich mir während meines Studiums auch nicht vorstellen.

Jetzt kenne ich einen unendlichdimensionalen Vektorraum, den ich mir vorstellen kann: die Polynome.

Die Basis-Vektoren können sein:

1, x, x², x³, ...

Answer 4

[DerRoll]

Es wurden dir ja nun schon einige Beispiele für unendlichdimensionale Vektorräume angegeben. Ich werde noch mal eines in den Ring das besonders ist:

https://de.wikipedia.org/wiki/Folgenraum

Hier hast du nämlich das Problem, dass es laut Basissatz eine Vektorraumbasis geben muß, aber sie nicht angeben werden kann. Das ist eine Folge des Beweises des Basissatzes, der das Zornsche Lemma bzw. das Auswahlaxiom verwendet. Tatsächlich ist der Basissatz sogar äquivalent zum Zornschen Lemma und zum Auswahlaxiom :-).

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.Math.

Answer 5

[PeterKremsner]

Genau genommen gibt es sogar unendlich viele unendlich Dimensionale Vektorräume wenn man Vektorräume mit nicht normierter oder nicht orthogonaler Basis dazu rechnet.