Darstellungsmatrix, Determinantenfunktion, allgemein Basis beweisen?
Hallo!
Ich sitze an meinem Aufgabenzettel von Lineare Algebra nun schon zu lange an dieser Aufgabe. Meine Fragen dazu wären da konkreter:
Wie soll man bei allgemeinen Vektoren aus K^n Beweisen, dass sie linear unabhängig und ein Erzeugendensystem sind?
Was ist die von A induzierte lineare Abbildung FA?
Und was für allgemeine Unterschiede gibt es in der Formulierung also wenn ich eine Darstellungsmatrix von der kanonischen Basis nach einer anderen Basis habe, ist das die Matrix, die mit Matrixmultipikation mit der kanonischen Basis die andere Basis ergibt? Oder andersherum?
Und wie soll ich am Besten an die Aufgabe (c) rangehen? Meine Idee wäre zu überlegen, was D(A * B) ist und dann mit der Multipikationsformel:
D(A * B) = D(A) * D(B) irgendwie auf etwas zu kommen...
Danke schonmal im Voraus! :)
1 Antwort
Das sind alles Aufgaben, die Definitionen und Verständnis derselben abfragen.
(a) Definition "Basis eines Vektorraumes". Aufschreiben, abprüfen.
(b) F_A ist eine lineare Abbildung, A ist die Darstellung dieser linearen Abbildung als Matrix. Den Schritt kannst du ohne Basisauswahl nicht machen. Du stellst einen beliebigen Vektor x als Linearkombination der v_i dar, was du nach (a) ja kannst. Dann wendest du mal die Matrix A darauf an und schaust, was da herauskommt, und stellst das Ergebnis wieder in den v_i dar. Das ist sogar richtig einfach.
(c) Die Determinante ist das Produkt der Eigenwerte. Schau mal, ob du mit dieser Aussage da weiterkommst.
Edit: Es ist übrigens Teil des Lernens, dass man an Aufgaben sehr viel herumknobeln muss und dabei auch mal scheitert - auch häufiger mal. Das führt dann aber dazu, dass man ein gutes Gefühl dafür entwickelt, wie man solche Aufgaben löst. Der Weg dazu führt aber leider nur darüber, dass man selber oft scheitert und immer wieder aufsteht und was Neues ausprobiert, bis es klappt.
Vielen Dank für die ausführliche Antwort ich habe das Aufgabenblatt so jetzt fertigstellen können!
Ich merke jetzt schon, dass ich Fortschritte mache in meiner Problemlösungsstrategie, allerdings hängt es eben doch noch immer wieder irgendwo, was ja völlig normal ist... Trotzdem ist es dann wirklich cool einen Denkanstoß zu bekommen, nachdem man sich andauernd nur in seinen Gedanken im Kreis dreht. Also Danke! :)