Differentialgleichung - Wie lösen?
Hallo Leute! Habe mega Schwierigkeiten bei der Lösung folgender Aufgabe:
Eine Kugel der Masse m trifft (zur Zeit t = 0) mit der Geschwindigkeit v0 senkrecht auf eine „kugelsichere Weste“ auf, ein viskoses Medium, d.h. die Abbremsung der Kugel soll ausschließlich durch Reibung erfolgen. Die Reibungskraft ist proportional zur Geschwindigkeit der Kugel: Fr = −k * v (k = Reibungskoeffizient).
a) Stelle Sie die Differentialgleichung für v(t) auf!
b) Wie lautet die allgemeine Lösung dieser DGL?
c) Wie lautet die spezielle Lösung?
d) Wie groß ist die Eindringtiefe s(t) der Kugel in Abhängigkeit der Zeit t?
e) Wie dick sollte die kugelsiere Weste mindestens sein?
Vielen Dank im voraus!
Dies ist keine Hausaufgabe, sondenr lediglich eine Vorbereitungsaufgabe auf eine Klausur. Ich habe noch nie so einen Typ von Aufgabe bearbeitet!
3 Antworten
Es wäre natürlich hilfreich, wenn wir wüssten, welche Gedanken du dir gemacht hast. Ohne diese Information können wir ja nur allgemein die Lösung erläutern, was wesentlich mehr Aufwand bedeutet und dir weniger nutzt.
Ich beginne trotzdem mal ganz allgemein. Ich nehme an du weißt, was eine Differentialgleichung ist? Aufgabenteil (a) ergibt sich nämlich mit Newton sehr einfach:
F = ma = m dv/dt ---> m dv/dt = -k v
besser geschrieben:
dv/dt = -k/m v
Für Aufgabenteil (b) musst du diese Gleichung lösen, was noch einigermaßen gut funktionier, da es eine homogene Differentialgleichung ist:
dv = -k/m v dt --> 1/v dv = -k/m dt
Dies ergibt durch Integration:
ln(v/v0) = -k/m t --> v(t) = v0*exp(-k/m*t)
Es handelt sich also um eine Exponentialfunktion. v0 erhältst du über Randbedingungen (Geschwindigkeit bei t = 0).
Alternativ kann man die Differentialgleichung auch lösen indem man direkt den Ansatz v(t) = A*exp(b*t) verwendet und dann die Parameter bestimmt (vielleicht bist du diesen Lösungsweg eher gewöhnt).
Die allgemeine Lösung ist natürlich auch eine spezielle Lösung aber eine wirklich sinnvolle spezielle Lösung gibt es (nach meinem Wissen) nur bei inhomogenen Differentialgleichungen.
Auf s(t) kommst du dirch Integration von v(t) (das ist einfach Kinematik):
s(t) = Integral(v0*exp(-k/m*t)dt) = C - v0*m/k*exp(-k/m*t)
Man kann sich leicht vergewissern, dass eine Ableitung dieser Größe wieder zu v(t) führt. Mit der Randbedingung s(t = 0) = s0 kommt man auf:
s0 = C - v0*m/k --> C = s0 + v0m/k
Was für s0 = 0 zur folgenden Lösung führt:
s(t) = v0m/k(1-exp(-k/m*t))
Für t --> ∞ erhält man als maximale Eindringtiefe:
s(∞) = v0m/k
Das erscheint auch sinnvoll. Je schneller und schwerer die Kugel (größerer Impuls), desto Dicker muss die Weste sein und gleichzeitig, je größer die Abbremsung k, desto dünner darf sie sein.
Sag bescheid, an welcher Stelle du hier noch Probele hast, ich bin gerne bereit das noch weiter zu erläutern ;)
Danke für die Anmerkung, man übergeht etwas in der Art so schnell, wenn man entsprechende Aufgabentypen zu häufig gerechnet hat. Es ist immer gut wieder darauf hingewiesen zu werden, wenn man Zwischenschritte überspringt. Meine Studis werden dir danken.
Dafür gibt es zwei möglich Erklärungsansätze. Einmal könnte ich sagen, dass ich die Integrationsgrenzen v0 und v verwendet habe (also Geschwindigkeit zu Beginn und zum Zeitpunkt t). Das Ergebnis wäre dann:
ln(v)-ln(v0)
Was mit etwas Logarithmus-Gesetzen sofort ln(v/v0) ergibt. Vielleicht ist der Ansatz:
ln(v) + C
Mit der Integrationskonstante C aber erhellender. Man hätte dann die Gleichung:
ln(v) = -C + -k/mt --> v(t) = exp(-C)*exp(-k/mt)
Mit der Randbedingung v(0) = v0 kommt man dann leicht auf exp(-C) = v0 bzw. C = -ln(v0).
Wie schon erwähnt, können die Variablen separiert werden:
m dv/dt + kv = 0
m dv/v = -k dt
Das kann direkt integriert werden. Siehe Astrobiophys. Dem ist nichts hinzuzufügen ;-)
Du musst verwenden, dass Kraft = Masse * Beschleunigung und dass Beschleunigung die Ableitung der Geschwindigkeit ist.
Weißt du denn erstmal was eine DGL ist und wie man sie lösen kann?
Ja weiß ich, ich weiß auch wie prinzipiell das Ganze aufzustellen ist. Nur wie lautet die konkrete Lösung für a) ?
In der Zeile:
ln(v/v0) = -k/m t --> v(t) = v0*exp(-k/m*t)
Wie kommst du da auf ln(v/v0)? Ist das Integral von dv/v nicht nur ln(v)?