Die Momentane änderungsrate bestimmen?
Hallo zusammen! Ich hätte eine Frage zu folgender Aufgabe:
T= Temperatur; t = zeit in h Gegeben ist die Funktion T(t) = 12/t - 10 . Bestimme die momentane Änderungsrate der Temperatur zum Zeitpunkt t = 20 h
Könnte ich das ganze einfach mit der potenterem r•x^r-1 ableiten oder muss ich das ausführlich mit dem differenzenquotient & Limes berechnen?
Würde mich über Antworten freuen! :)
4 Antworten
" muss ich das ausführlich mit dem differenzenquotient & Limes berechnen?"
A: Nein, das wäre auch zu viel Arbeit.
Momentane Änderungsrate = 1. Ableitung.
Die Funktion T(t)= 12/t - 10 ist abgeleitet T'(t) = - 12 / t^2
Die momentane Änderungsrate wäre jetzt pauschal gegeben, da aber zum Zeitpunkt t = 20 h gefragt ist und ich mal davon ausgehe, dass t in h ist, für die Ableitung T'(t) dann für t 20 einsetzen, also T'(20) = -12 / 20^2
und fertig.
Du musst dies nicht ausführlich mit dem Limes machen. Dies ist sehr umständlich und dient oft dem hauptsächlichen Zweck, eine Aussage (bspw. eine Ableitungsregel) formal zu beweisen oder eben das Konzept der Differentialrechnung in der Oberstufe didaktisch effizient einzuführen.
Die Funktion T(t)=12/t-10 lässt sich umschreiben zu T(t)=12*t^-1 - 10.
Die Ableitungsfunktion ist dann T'(t)=-12*t^-2 Um nun die Änderungsrate zu einem bestimmten Zeitpunkt tb zu bestimmen, setzt du diesen Zeitpunkt in die Funktionsgleichung anstelle der Variable t ein. Das Ergebnis wird dann die Steigung derjenigen Geraden sein, die die Ursprungsfunktion (nur!) an dem einen betrachteten Punkt berührt. Diese Gerade nennt man auch Steigungsgerade.
Die momentane Änderungsrate kannst du mit der Ableitung bestimmen, die du so bildest:
f(x) = xⁿ
f'(x) = n * xⁿ⁻¹
Hier eine ausführliche Anleitung:
https://www.gutefrage.net/frage/wie-leitet-man-ab?foundIn=list-answers-by-user#answer-221533391
_________________________
T(t) = 12/t - 10
T(t) = 12t⁻¹ - 10
T'(t) = -1*12t⁻²
T'(t) = -12t⁻²
T'(t) = -12/t²
Jetzt setzt du 20 für t in die Ableitungsfunktion T' ein. Das Ergebnis ist die momentane Änderungsrate nach 20 Stunden.
Liebe Grüße
TechnikSpezi
Ohje, ich meine natürlich *Potenzregel, nicht potenterem
Vielen Dank für die Antwort! :)