Das ist das schwerste mathe rätsel hilfe?
Ein Baum ist 100m hoch. Eine Larve will diesen Baum hochkriechen, sie kriecht aber nur Nachts und startet ganz unten. Sie schafft pro Nacht 10cm. Der Baum wächst aber jeden Tag um 20 cm gleichmäßig entlang seiner gesamten Länge.
Kommt die Larve irgendwann ganz oben am Baum an? Wenn ja, wie lange braucht sie dafür?
7 Antworten
Nein. Denn ich glaube kaum, dass die Larve die etwas mehr als 3191 Tage als Larve überlebt. Mir ist jetzt zumindest keine Art bekannt, die so lange Zeit im Larvenstadium verbringt. Und einen mehr als 738 Meter hohen Baum habe ich auch noch nicht gesehen. [Die Aufgabe ist letztendlich ziemlich unrealistisch.]
Aber... Ja, theoretisch kann die Larve die Baumspitze erreichen.
Man kann herleiten, dass die relative Höhe der Larve (also das Verhältnis von Höhe der Larve am Baum zur gesamten Baumhöhe) am k-ten Tag gleich
ist. (Eine mögliche Herleitung, wie man darauf kommen kann, habe ich versucht in den Bildern am Ende meiner Antwort darzustellen.)
Die entsprechende Reihe divergiert dann jedenfalls für k → ∞, wie man beispielsweise mit dem Minorantenkriterium durch Vergleich mit der harmonischen Reihe feststellen kann. Dementsprechend gibt es also sicher Werte k, für die diese relative Höhe größer als 1 ist, sodass die Larve also theoretisch höher als die eigentliche Baumhöhe klettern kann. Die Larve kann also nach einer gewissen Zeit die Spitze des Baums erreichen.
Um nun herauszufinden, wann die Larve die Baumspitze erreicht... Naja, da habe ich keinen schönen Weg gefunden. Ich habe einfach mit Python ein kleines Skript geschrieben, welches einfach die Nächte und Tage der Reihe nach durchgegangen ist und die jeweiligen Höhen berechnet hat. Ergebnis...
Nach 3191 Tagen erreicht die Larve in der 3192-ten Nacht die Baumspitze.
======Zur Herleitung der relativen Höhe der Larve======
Ja, klar habe ich das berücksichtigt.
Das geht in der Rechnung an der Stelle ein, dass tagsüber die relative Höhe der Larve gleich bleibt. (Das entspricht v[2k+2] = v[2k+1] in meinen Formel.) Wenn sie also vorher bei 50 % der Baumhöhe gewesen ist, ist sie nach dem Tag immer noch bei 50 % der Baumhöhe.
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Beispiel:
In Nacht 859 ist die Larve von 135,77... Meter auf eine Höhe von 135,87... Meter hochgeklettert. Der Baum ist in dieser Nacht bei einer Höhe von 271,6 Metern geblieben. Die relative Höhe der Larve hat damit von 0,4998... (= 49,98... %) auf 0,5002 (= 50,02... %) zugenommen. Die Larve ist nur auf etwa halber Höhe.
Nun wächst der Baum am Tag 859 um 20 cm. Die Baumhöhe nimmt damit von 271,6 Meter auf 271,8 Meter zu. Dabei sind 10 cm über der Larve gewachsen. 10 cm sind unter der Larve gewachsen, sodass die Höhe der Larve auch entsprechend um 10 cm zunimmt. Damit nimmt die Höhe der Larve von 135,87... Meter auf 135,97... Meter zu.
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Inwiefern geht das bei mir in der Rechnung ein? Das Verhältnis von 0,5002... ist während dieses Tages gleich geblieben. Die Baumhöhe hat von 271,6 Meter auf 271,8 Meter zugenommen. Die Höhe der Larve hat dementsprechend (bei gleicher relativer Höhe) von
0,5002... ⋅ 271,6 Meter = 135,87... Meter
auf
0,5002... ⋅ 271,8 Meter = 135,97... Meter
zugenommen, sodass die Höhe der Larve dadurch um
135,97... Meter - 135,87... Meter = 0,10... Meter
zugenommen, was logischerweise etwa der Hälfte des Baumwachstums zu diesem Zeitpunkt entspricht.
Du hast die Lösung korrekt hergeleitet. Bravo:). Glaubst du, dass jemand ohne mathematisches Fachwissen ( Mathestudium ) diese Aufgabe bewältigen könnte? Und wenn ja, dann mit welcher Methode?
Naja. Auch ohne allzu viel mathematisches Fachwissen, kann man das mit Hilfe eines Rechners durchrechnen lassen. (Die Berechnung der benötigten Zeit, wie lange es dauert, habe ich ja auch meinem PC überlassen.)
Kommt die Larve irgendwann ganz oben am Baum an?
M.E. ja da die Larve ja an der Stelle, wo sie tagsüber hängt, mit nach oben geschoben wird beim Wachsen des Baumes
Wenn ja, wie lange braucht sie dafür?
100m = 10.000 cm
10.000 cm / 10 cm = 1000 Nächte
Dann kläre uns auf, wenn du die Lösung kennst.
Allerdings frage ich mich dann, wieso du überhaupt die Frage eingestellt hast, wenn du die Antwort eh schon weißt.
Hallo.
Zunächst einmal müssen wir definieren ob mit
Der Baum wächst aber jeden Tag
24 Stunden gemeint ist, oder wir hier zwischen Tag und Nacht unterscheiden, also die Larve in der Nacht wandert, wenn der Baum nicht wächst und der Baum wächst, wenn die Larve nicht klettert.
Entscheidend ist hierbei aber die Aussage
gleichmäßig entlang seiner gesamten Länge
Denn auch wenn der Baum damit am Ende 20 cm täglich höher ist, hat das ja nur einen begrenzten Einfluss für die Wanderhöhe der Larve.
Der Baum ist 100m hoch (wobei Bäume selten so hoch werden und dann garantiert keine 20cm täglich wachsen!!!) und die 20 cm finden verteilt auf seine Länge statt. Entsprechend driftet er für die Wanderlänge der Larve nur 0,2mm auseinander.
Das bedeutet die Larve macht netto mehr Strecke gut als der Baum wächst und sie wird damit irgendwann die Spitze des Baumes erklimmen können.
Für eine genaue Berechnung müssten wir weitere Randbedingungen festlegen.
Entsprechend driftet er für die Wanderlänge der Larve nur 0,2mm auseinander.
Wie genau bist du darauf gekommen?
Am ersten Tag ist die Larve bereits 10cm von 100m geklettert. Demenstprechend wächst der Baum unter ihr die 0.02cm und über ihr 19.98cm. Am nächsten Tag ist dieses Verhältnis aber wieder anders, weil sie wieder etwas geklettert ist.
Es ist leicht zu sehen, dass sie es ab der Hälfte des Baumes schaffen würde. Die Frage ist jetzt, ob man irgendwie zeigen kann, dass sie dahin kommt.
Vorausgesetzt wir gehen von dem Tag/Nacht Rhythmus aus, dann wird die Larve nach 3192 Nächten die Spitze des Baumes in einer Höhe von 738,2m erreicht haben.
Das war jetzt nachgerechnet, aber um das grobe "Ja" zu beantworten, reicht ja das Wissen darum, dass das relative Wachstum des Baumes konstant abnimmt. Nicht nur, weil sich die 20cm auf mehr Höhe verteilen (0,2/100,4 < 0,2/100,2 < 0,2/100), sondern auch, dass die Höhe der Larve durch des Wachstums des Baumes zunimmt. Der Baum hilft der Larve also beim Klettern.
In der ersten Nacht um 0,2mm, in der zweiten Nacht um ~0,4mm, in der dritten Nacht um ~0,06mm, usw.
Oder etwas ungenau ausgedrückt um es sich vielleicht besser vorstellen zu können:
Baum wächst immer um 20cm, die Höhe der Larve nimmt aber immer um 10cm + 0,02x zu.
20 = 10 + 0,02x
10 = 0,02x
x = 500
In dieser Milchmädchenrechnung würde man also anschaulich verdeutlichen können, dass die Larve nach 500 Nächten mehr Höhe gewinnt als der Baum. Und nach diesem stark ungenauen Schema hätte die Larve die Spitze nach
10000 + 20x = (10 + 0,02x)x
10000 + 20x = 10x + 0,02x²
-0,02x² + 10x + 10000 = 0
x² - 500x - 500000 = 0
x = 250 +- Wurzel(250² + 500000)
x = 250 +- Wurzel(562500)
x = 250 +- Wurzel(562500)
x = 250 +- 750
x = {-500; 1000}
1000 (250 + 750) Nächten erreicht.
Aber das ist zu ungenau, da die Larve nicht immer 0,02 cm pro Nacht vom Baum bekommt! Denn die 20cm verteilen sich auf immer mehr Höhe, entsprechend nimmt der Wert 0,02x konstant ab, wird aber erst 0 wenn die Larve die Spitze erreicht hat.
Sie schafft pro Nacht 10cm. Der Baum wächst aber jeden Tag um 20 cm
Es reicht der Hausverstand um die Frage zu beantworten. Da der Baum schneller wächst als sie emporklimmt, kann sie nie oben ankommen.
Agbesehen davon, dass kein Baum 20cm pro Tag wächst.
Nein, wenn mich nicht alles täuscht wächst der Baum ja schneller als die Larve hochkommt
Habe es mir nochmal durchgelesen. So wie ich es verstehe verschiebt sich die Larve ja mit dem Baum ?! Habe aber keine Lust das jetzt auszurechnen
Doch. Das ist die Antwort auf die Frage: " Kommt sie irgendwann oben an?"
Zweite Frage, wenn ja, wie lange dauert das?
Ist aber nicht ja, deshalb brauchst du die Dauer nicht ausrechnen.
Gute Rechnung.
Hast du auch berücksichtigt das der Baum über ihr immer weniger wächst, je höher sie ist?
Zb wächst er über ihr nur noch um 10cm wenn sie auf halber Höhe ist .
Wenn Ja, wo erkennt man das in der Formel?