Darf man die l'hospital Regel auch bei Folgen anwenden, um den Grenzwert zu bestimmen? Oder gilt sie nur für Funktionen?
zum Beispiel bei dieser Folge
4 Antworten
Die Kurzfassung ist: Ja, man kann L'Hospital anwenden, aber wenn du das tun willst, musst du gut begründen, warum du den anwenden darfst.
So, jetzt gefunden, Du musst es doch nicht beweisen:
Für den l'Hôpital brauchst du die Ableitungen von Zähler und Nenner. Wie willst du eine Folge ableiten?
Eine Ableitung heißt: Funktionswert für x und für ein x+h bestimmen, Differenzenquotient bilden, h im Grenzübergang gegen 0 gehen lassen. Wie willst du einen Grenzübergang gegen 0 für ein n, das nur ganze Zahlen annimmt, bilden?
Wenn man die Funktion fortsetzt durch f(x) = (x + 1) / (x + 3) für reelle x, die nicht -3 sind, ist das kein Problem mehr.
Man kann ja sagen, dass die Folge ein Teil der stetigen Funktion ist und wenn alle Werte der Funktion gegen irgendwas konvergieren, dann müssen es ja erstmal auch alle in der Funktion erhaltenen Folgeglieder oder nicht?
gehen wir ganz plump hin und nehmen an
f(n)=n+1 und g(n)=n+3 wären 2 Funktionen, Defbereich vorerst mal R wie gewohnt.
Wobei es trotzdem Funtkionen wäre auch wenn der Defbereich nur die natürlichen Zahlen sind.
Eine Folge IST , in ihrer exliziten Form, ja eine Funktion von n nach a(n) :-)
Eher Problem ist dass da nicht 0/0 rauskommt im Grenzwert und man, ohne etwas Getrickse, L'Hopital daher noch nicht benutzen darf.
Man könnte wirklich daran denken, weil man den "Bereich" unendlich als Häufungspunkt interpretieren kann, wo wir die "Steigung" betrachten. Hier passt das Ergebnis sogar, ob das allgemeingültig ist, weiß ich nicht. Zumindest ist die entsprechende Anwendbarkeit L'Hospital hierfür nicht bewiesen, also nicht verwendbar, außer Du formulierst vorher den Beweis für den Zahlenkörper R.
Aber die allgemeine Vorgehensweise ist:
Zum Verständnis: Die absoluten Zahlen 1 und 3 verschwinden immer mehr, verlieren an Bedeutung mit wachsendem n, so dass man daraus schließen kann, dass im Ergebnis nur noch das n (mit dem höchsten Exponent) von Interesse ist, der Rest wird vergleichsweise immer kleiner. Zum Verständnis, als Begründung natürlich zu "belletristisch" und damit unbrauchbar.
d(n + 1)/dn halt