Boolesche Algebra - Term vereinfachen?

Bei einer Schaltungsanalyse komme ich auf den Term a * b * (b + c). Das ist laut Prof auch richtig, jedoch nicht minimal. Es soll laut Prof äquivalent zu a * b sein. Kann das bitte jemand schrittweise darstellen?

Vielen Dank.

Answer 1

[xxxcyberxxx]

Nun, damit dieser Term wahr wird, muss ja jeder der drei Bestandteile (a, b, (b+c)) 1 sein ...

Lassen wir a mal komplett außen vor und beachten jetzt nur mal b * (b + c). Dies lässt sich auch umschreiben als (b * b) + (b * c)

Wenn b wahr ist, ist diese komplette Gleichung wahr, da b*b = 1. Da es sich um ein oder handelt, muss (b*c) nicht mal beachtet werden.

Sofern b falsch ist, wird die komplette Gleichung falsch, da b*b = 0 und b*c = 0

=> diese Teilgleichung ist rein abhängig von b

Comments

[xxxcyberxxx]

Edit:

Du kannst auch so argumentieren:

b * (b + c) = b * b + b * c

da b * b = b, ergibt sich:

b*b + b*c = b + b*c.

Dies ist nur dann wahr, wenn b wahr ist => b+b*c = b

[HanMu]

Dankeschön. Die Gleichung ist aber doch auch erfüllt bei b=1 und c=1. Wäre demnach a * b * c auch korrekt, jedoch nicht minimal?

[xxxcyberxxx]

@HanMu

siehe meinen neu hinzugefügten Kommentar

[xxxcyberxxx]

@HanMu

nein, wäre nicht korrekt. denn a*b*c würde voraussetzen, dass c=1 ist.

jedoch kann c bei der gegebenen Algebra (a*b) auch 0 sein

[HanMu]

@xxxcyberxxx

Ok. Dann verstehe ich es jetzt. Es wird ausschlißlich alles gelistet, was wirklich =1 sein MUSS...

Answer 2

[atoemlein]

Einfach wie mit "normaler" Algebra vereinfachen und die Zusatz-Vereinfachungen der Bool'schen Algebra beachten:

• * ist AND, wird wie "mal" gerechnet, kann auch ohne Punkt geschrieben werden.

Also:

• a * b * (b + c) = [ausmultiplizieren]
• a * (bb + bc) =
• a * (b + bc) = [ausklammern]
• a * b * (1+c) =
• a * b * (1) =
• a * b
• Da c rausfliegt, ist die Funktion unabhängig von c

Comments

[atoemlein]

oder noch einfacher:

• [ausmultiplizieren]
• = abb + abc
• = ab + abc [-> ausklammern]
• = ab (1+c)
• = ab (1)
• = ab