wie vereinfache ich den folgenden term mit dem trigonometrischen phytagoras?
Lauten tut die Aufgabe so:
sin(alpha) * Wurzel(1+tan^2(alpha))
Das ganze soll ich nun vereinfachen, ich habe etwas selbst versucht und komme nur auf:
sin(alpha) * (sin(alpha)/cos(alpha))
wobei ich glaube, dass das falsch ist..
3 Antworten
Voraussetzungen (muss man wissen): sin α / cos α = tan α
und sin²α + cos²α = 1
sin²α bedeutet (sin α)² und wird verwendet, um Klammern zu sparen.
Klammern gibt es in diesem Editor sowieso zu viele.
Hier muss auch der Wurzelinhalt in Klammern gesetzt werden.
Das Ganze ist eine wilde Rechnerei. Ich versuche es mal schrittweise:
sin α * √(1 + tan²α)
= sin α * √(1 + (sin²α/cos² α)) | umformen
= sin α * √(cos²α/cos²α + sin²α/cos² α) | auf einen Bruchstrich
= sin α * √((cos²α + sin²α) / cos²α) | vereinfachen
= sin α * √(1 / cos²α) | √
= sin α * (1/ cos α) | multiplizieren
= sin α / cos α | umformen
= tan α
Mit ß statt α ist 1 + tan²ß = 1 +sin²ß / cos²ß = cos²ß / cos²ß + sin²ß / cos²ß =
(cos²ß + sin²ß) / cos²ß = 1 / cos²ß.
Dann ist √(1/cos²ß) = 1/cosß und sinß ∙ (1/cosß) = sinß/cosß = tanß.
Aus den Mathe-Formelbuch ,Zusammenhang zwischen den Funktionswerten bei gleichen Winkel
cos(x)=1 /(1+tan^2(x))^0,5 hier ist 0,5 die Wurzel aus den Therm
(....)^0,5=1/cos(x) eingesetzt in Formel ergibt
sin(x) * 1/cos(x)=sin(x)/cos(x)=tan(x)
tan(x)=Gegenkathete/Ankathete=sin(x)/cos(x)
Prüfe auf Richtigkeit mit einer Proberechnung !!