Binomialverteilung Bsp Verständnisfrage?
Hallo
Folgendes Beispiel:
15% der Autofahrer tragen keinen Sicherheitsgurt. Man darf annehmen, dass die Autofahrer unabhängig voneinander den Gurt anlegen oder nicht.
Also ist p=0,15 q=0,85
Nun muss man aus 12 vorbeifahrenden Autos die Wahrscheinlichkeiten P(X=4) P(Xmindestens2) ausrechnen. Und das versteh ich schon blabla
Die Frage lautet nun:
Wie viele Autos muss man überprüfen, um mit mindestens 95%iger Wahrscheinlichkeit mindestens 1 Gurtenmuffel (also die die keinen gurt tragen) zu erwischen?
Ich weiss dass die Ungleichung so lautet:
0,95 kleinergleich 1-0,85^n
Ich verstehe nicht wieso es 1-0,85 ist ?
Es ist ja mindestens eins und die Gegenwahrscheinlichkeit wäre ja 1-(P(X=0)) , wieso rechnet man dann nicht wirklich das PX=0 aus und setzt es dann nach dem 1 ein? Ist es nur , weil hier kein n angegeben ist? Und 1 minus Wahrsch. dass man generell keinen erwischt ist 0,85 also benutzt man diesen wert statt P(X=0) auszurechnen? man könnte p(x=0) gar nicht ausrechnen oder ? weil hier ja kein n angegeben ist
2 Antworten
Man berechnet doch genau die Gegenwahrscheinlichkeit? Die Wahrscheinlichkeit, dass alle n Fahrer mit Gurt unterwegs sind, ist gemäß Binomialverteilung 0,85^n und man betrachtet nun den Fall, dass X>0 ist, also dass mindestens einer ohne Gurt unterwegs ist.
Dieser Fall tritt mit Wahrscheinlichkeit 1 - 0,85^n ein. Jetzt soll diese Wahrscheinlichkeit mindestens 0,95 sein, daher die von dir angegebene Ungleichung: 0,95 ≤ 1 - 0,85^n und das wird jetzt eben nach n aufgelöst. Somit weißt du, wie viele Autos du mindestens beobachten musst.
Hallo,
erst mal das mit den Prozenten:
Die Angabe 'mindestens einer' ist die Gegenwahrscheinlichkeit zu keiner.
Du kannst - anstatt zu berechnen, daß Du zu 95 % Wahrscheinlichkeit mindestens einen Gurtmuffel erwischst - berechnen, daß Du mit 5 % Wahrscheinlichkeit keinen erwischst.
Wenn es 15 % Gurtmuffel gibt, fahren die anderen 85 % brav angeschnallt.
Die Wahrscheinlichkeit, einen Angeschnallten zu sehen, liegt bei 85 %=0,85.
Die Wahrscheinlichkeit, zwei hintereinander zu sehen, liegt bei 0,85^2 usw.
Die Frage ist also, für welches n 0,85^n kleiner als 5 % oder 0,05 wird.
Also: 0,85^n<=0,05
Das geht über den Logarithmus:
ln (0,85^n)=ln (0,05)
n*ln (0,85)<=ln (0,05)
n>=ln (0,05)/ln (0,85)
Das Ungleichheitszeichen mußt Du umdrehen, weil Logarithmen von Zahlen zwischen 0 und 1 negativ werden und wenn eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert wird, muß das Ungleichheitszeichen umgekehrt werden.
So kommst Du auf n>=18,433, also n=19.
Du mußt also im Schnitt 19 Autofahrer kontrollieren, um zu 95 % Wahrscheinlichkeit einen ohne Gurt zu erwischen.
Bei den anderen Aufgaben rechnest Du (12 über 4)*0,15^4*0,85^8 für die Wahrscheinlichkeit von vier Gurtmuffeln unter 12 Autofahrern. Bei mindestens 2 gehst Du wieder über die Gegenwahrscheinlichkeit und ziehst die Summe der Wahrscheinlichkeiten für 0 und 1 Gurtmuffel von 1 ab, denn dann bleibt die Summe der Wahrscheinlichkeiten von 2 bis 12 Gurtmuffel übrig.
Herzliche Grüße,
Willy