Binomialkoeffizient Catalan-Zahl Beweis?
Hallo, ich bin es wieder mit einer Frage zum Binomialkoeffizinten!
Heute sollen wir beweisen, dass für alle positiven Natürlichen Zahlen gilt (mithilfe der Formel für den Binomialkoeffizienten).
Unten im Bild habe ich meinen Versuch hochgeladen (einfacher, als hier alles einzutippen). Aber ich komme leider nicht weiter oder habe irgendwo einen Fehler.. Es wäre super nett, wenn mir jemand sagen könnte, was ich falsch gemacht habe :)).
Vielen lieben Dank!!
2 Antworten
Dein Fehler liegt in der Auflösung der Binomialkoeffizienten. Leider ist der LaTex-Editor hier sehr mies, da kann man keine Binomialkoeffizienten eingeben. Ich versuche das mal auf meine Art
(2n über n)=(2n)!/(n! * (2n-n)!)=(2n)! / (n! * n !)
Bei dir fehlt das zweite n! im Nenner.
(2n über (n+1))=(2n)! / (n+1)! * (2n-(n+1))!= (2n)! / ((n+1)! * (n-1)!)
Hier hast du gegen die Vorzeichenregeln verstoßen.
Man kann mit dem Befehl \binom im Editor ein Binomialkoeff. erzeugen.
Klar, gar kein Problem! Ich schreibe hier nochmal meinen Weg hin, vielleicht wird es dann einfacher, das nachzuvollziehen..
= ((2n)!)/(n!*n!) - ((2n)!)/((n+1)!*(n-1)!)
= ((2n)!*(n+1)!*(n-1)!/(n!*n!*(n+1)!*(n-1)!) - ((2n)!*n!*n!)/(n+1)!*(n-1)!*n!*n!)
= ((2n)!*(n+1)!*(n-1)! - (2n)!*(n!)^2)/((n!)^2*(n+1)!*(n-1)!
= ((2n)!*n!*(n+1)*(n-1)! - (2n)!*(n!)^2)/((n!)^2*(n+1)!*(n-1)!
Hier komme ich nicht mehr wirklich weiter.. Habe versucht, das zusammenzufassen in:
((2n)!*n!*((n+1)*(n-1)! - n!)/((n!)^2*(n+1)!*(n-1)!
aber bin mir ziemlich sicher, dass es falsch ist..
Vielen lieben Dank nochmal!
Hallo, sorry dass ich nochmal störe.. ich habe jetzt ((2n)! * n! * (n+1) * (n-1)! - (2n)!* n! * n!)/ n! * n! * (n+1)! * (n-1)! und komme nicht weiter.. wie kann ich das weiter zusammenfassen, um es zu kürzen? Dankeschön
Kann ich das so ausklammern?
(2n)! * (n+1)! * (n-1)! - (2n)! * n! * n! = (2n)! * ((n+1)! * (n-1)! - n! * n!)
Ah mist! Hatte irgendwie voll vergessen, dass n ja hier 2n ist *facepalm*.. und Minusklammern waren nie meine Stärke.. Vielen Dank, werde das gleich nochmal versuchen! :)
Nach einigen Recherchen melde ich mich doch noch einmal zu diesem Thema. Es geht hier nicht ums Ausmultiplizieren. Es geht hier um einen logischen Beweis, wie ihr im Folgenden sehen könnt:
Noch eine Anmerkung. Es ergibt sich doch für jedes n eine Catalansche Zahl. Da habe ich mich in meinem oben angeführten Beitrag geirrt. Nichtsdestotrotz muss der logische Beweis über das Pascalsche Dreieck genügen.
Vielen Dank für die Mühe!! Ich verstehe leider durch das Bild nicht mehr als vorher.. was hat der Beweis, den ich erbringen soll mit geraden Zahlen zu tun? Ich nehmen an, ich soll die Formel herleiten und nicht nur beweisen, dass da eine ganzzahlige Zahl rauskommt.. Habe heute nochmal Fragestunde, da werde ich mich nochmals vergewissern. Aber vielen Dank!
Wir müssen leider den Beweis erbringen.. Also hilft mir das oben nicht :/
@BlueBubble99
Ich muss mir das morgen noch mal anschauen, komme heute nicht mehr dazu.