Beweis - Kompaktheit, metrische Räume?

Ich habe für meine Übungsaufgaben diesmal folgende Aufgabe zu lösen:

Ich hätte dies mit dem Folgenkriterium gelöst, bin mir aber nicht sicher, ob das so geht.

$\text{Es}\ \text{sei}\ \left(y_n\right)\in Y^{\mathbb{N}},\ \text{sodass}\ y_n\rightarrow\ y_{\infty}.\ \text{Zu}\text{ zeigen}:\ f^{-1}\left(y_n\right)\rightarrow f^{-1}\left(y_{\infty}\right).$ Wir nehmen das Gegenteil an, und führen einen Widerspruchsbeweis.

$\text{Es}\text{ gilt also: für unendlich viele n in }\mathbb{N}:\ d_x\left(f^{-1}\left(y_n\right),\ f^{-1}\left(y_{\infty}\right)\right)>\epsilon\$ für irgendein Epsilon > 0.

Wir bezeichnen die Menge dieser "Verräter" als M. Nun bilden wir eine Menge in X:

$\left(x_n\right)\in X^{\mathbb{N}}\ \text{sodass}\ x_n=f^{-1}\left(y_n\right)\in M.\$ Mir fällt auf: Das ist ein bisschen falsch geschrieben. Ich meine konkret: Wir wählen eine Folge aus jenen f^-1(yn), die in M sind. Insbesondere ist x_n immernoch Teilfolge von f^-1(yn).

Aber es gilt:

$\text{X}\text{ ist}\ \text{kompakt, also auch folgenkompakt.}\ \Rightarrow\ \exists\ x_{\infty}\text{und}\ x_{n_k}s.d.\ x_{n_k}\rightarrow x_{\infty}$ Nun betrachten wir aber mal f(x_(n_k)). $\text{f ist stetig. Das heißt:}\ f\left(x_{n_k}\right)\rightarrow f\left(x_{\infty}\right).$ Gleichzeitig gilt aber auch:

$f\left(x_{n_k}\right)\text{ ist}\text{ ja immernoch TF von }y_n.\ \text{Das}\text{ heißt:}\ f\left(x_{n_k}\right)\rightarrow y_{\infty}$ $\Rightarrow\ x_{n_k}\rightarrow\ x_{\infty}=f^{-1}\left(y_{\infty}\right)$ Und das ist der Widerspruch, da (x_n) ja gerade so gewählt wurde, dass alle x_n mindestens Epsilon-weit davon entfernt sind.

Answer 1

[eterneladam]

Geht wohl schon so, allerdings würde ich auf einen indirekten Beweis verzichten, wenn es auch direkt geht, etwa so:

y_n gehe gegen y

Die Folge der Urbilder muss nach Voraussetzung eine konvergente Teilfolge y_(n_k) haben, die in X etwa gegen x0 konvergiert.

Wegen der Stetigkeit und Bijektivität geht dann die Folge y_(n_k) = f(f^(-1)(y_(n_k)) gegen f(x0).

Dann muss gelten f(x0) = y.

Also ist x0 = f^(-1)(y), was wir zeigen wollen.

Wenn sich das alles in einem allgemeinen metrischen Raum abspielt wäre noch zu prüfen, ob die Begrifflichkeiten so verwendbar sind, bin mir da nicht 100% sicher.

Comments

[LoverOfPi]

Warte, woher kommt der Schritt mit Teilfolge geht dagegen, Dann bijektivität, stetigkeit -> ganze Folge geht dagegen?

[eterneladam]

@LoverOfPi

Eine konvergente Folge kann nur einen Grenzwert haben

[LoverOfPi]

@eterneladam

Warte, ich muss deinen Beweis nochmal durchdenken. Wenn y_n -> y geht, dann haben wir ja noch nicht, dass die Urbilder konvergieren. Das sollen wir ja gerade zeigen. Du hast gezeigt, es gibt eine Teilfolge der Urbilder, die auf jeden Fall gegen x0=f^-1(y0) konvergiert. Aber warum die ganze Folge der Urbilder? Wir wollen ja gerade zeigen, dass sie konvergiert. Den Schritt habe ich gestern schon nicht gesehen. Deshalb bin ich den aufwendigen, indirekten Weg gegangen.

[eterneladam]

@LoverOfPi

Berechtigte Kritik ...

[LoverOfPi]

Ah, mhhm, okay... :)