Supremumsbeweis mit Äquivalenzaussagen?

Hallo,

hier sind die Aussagen:

Kurz meine Beweisskizze über Ringschluss:

(i) => (ii)

Hier würde ich einen Widerspruchsbeweis führen (Reductio ad absurdum) und halt die negierte Aussage (ii) zu einem Widerspruch führen in Bezug auf die Supremumseigenschaft der Voraussetzung. Es kann kein Epsilon >0 exisiteren, so dass für alle x in A gilt x<= s-epsilon.

(ii) => (iii)

ist trivial, weil >= "größer ODER gleich" bedeutet und wir haben größer schon bewiesen. Beim "logischen Oder" muss ja immer nur einer der beiden Statements richtig sein.

(iii) => (i)

Hier würde ich wieder einen Widerspruchsbeweis führen, indem ich davon ausgehe, dass ich aus den Voraussetzungen folgern kann, dass s kein Supremum von A ist. Das führt dann zu einem Widerspruch.

Sind die Überlegungen ok?

Answer 1

[ReimundAcker]

Beweis von (iii) ⇒ (i) in 17 Schritten, Begründung jeweils in eckigen Klammern:

1. Voraussetzung: Sei s eine obere Schranke von A so dass für jedes ε > 0 ein x ∈ A existiert mit x ≥ s - ε
2. s ist obere Schranke von A [ wg. 1 ]
3. sup A ist kleinste obere Schranke von A [ wg. Def. von sup ]
4. sup A ≤ s [ wg. 2 und 3 ]
5. Annahme: sup A < s [ zwecks Widerspruch ]
6. Sei ε := (s - sup A) / 2
7. ε > 0 [ wg. 6 ]
8. Es gibt ein x ∈ A mit x ≥ s - ε [ wg. 1 und 7 ]
9. s - ε = (s + sup A) / 2 [ wg. 6 ]
10. (s + sup A) / 2 > (sup A + sup A) / 2 [ wg. 5 ]
11. (sup A + sup A) / 2 = sup A
12. x > sup A [ wg. 8, 9, 10, 11 ]
13. x ∈ A [ wg. 1]
14. sup A ist obere Schranke von A [ wg. 3 ]
15. x ≤ sup A [ wg. 13, 14 und Def. von sup]
16. Widerspruch ( x > sup A und x ≤ sup A) [ wg. 12 und 15; also Ann. 5 falsch ]
17. sup A = s [ wg. 4, 5 und 16 ]

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – LMU München, Dipl. Math., eigene Recherche

Answer 2

[Luksior]

Ja, sind ok. Bei (iii) -> (i) kannst du den typischen epsilon/2-Trick anwenden; ist t eine obere Schranke von A mit t < s, dann gilt t+epsilon/2=s für ein bestimmtes epsilon>0.

Comments

[Fachkunde]

Jo, super. Ich kriege (iii) => (i) gerade nicht so gut hin. Ich verstehe irgendwie nicht, was ich mit der Voraussetzung machen soll, oder eigentlich, dass die Voraussetzung doch die Aussage ist.

Wir wissen, dass s eine obere Schranke von A ist und für jedes Epsilon >0 ein x in A existiert mit x>= s-epsilon. Wir wollen zeigen, dass für jedes epsilon >0 ein x in A exisitert mit x>s-epsilon.

das verstehe ich irgendwie nicht

[Luksior]

@Fachkunde

Das Supremum ist üblicherweise als die kleinste obere Schranke definiert, die es gibt (bei einer beschränkten Menge gibt es immer eine kleinste obere Schranke. Das kann man aber nicht beweisen, sondern man nimmt es einfach als Axiom an). Dein Widerspruchsbeweis sähe also wie meine Skizze oben aus; du nimmst an, s sei nicht die kleinste Schranke, d.h. es gäbe eine obere Schranke t und ein epsilon>0 mit t+epsilon/2=s, danach nimmst du dir ein x mit x>=s-epsilon (das existiert nach Voraussetzung) und leitest daraus einen Widerspruch her.

Bei deinem Beweisschritt funktioniert der epsilon/2-Trick auch. Deine Voraussetzung (also die (iii)) funktioniert für jedes epsilon>0, also auch für jedes epsilon/2 (denn wenn epsilon>0 gilt, so ist auch epsilon/2>0). Du nimmst also stattdessen an, dass für jedes epsilon>0 ein x aus A existiert mit x>=s-epsilon/2. Dann folgt logischerweise für dieses x, dass es echt größer ist als s-epsilon, denn es gilt s-epsilon/2>s-epsilon wegen epsilon/2>0.