Warum konvergiert jede Cauchy-Folge in C bzw. R?

Hallo,

Ich kann den Schritt ab "Es gilt nun zu zeigen, dass die Ausgangsfolge auch gegen a konvergiert" nicht wirklich verstehen. Die letzte Ungleichung ist für mich sehr unverständlich. Den einen Teil mit |a-a_(n_k)| verstehe ich noch, aber warum |a_(n_k)-a_n|? Was beschreibt das überhaupt mathematisch? Den Abstand einer Teilfolge zur Ausgangsfolge?

Answer 1

[eddiefox]

Hallo,

Den einen Teil mit |a-a_(n_k)| verstehe ich noch

Ja, das ist der einfache Teil. Die Teilfolge a_(n_k) konvergiert gegen a, also kann man |a - a_(n_k)| beliebig klein machen, es muss nur k ∈ ℕ genügend groß sein.

aber warum |a_(n_k)-a_n|? 

Das Ziel ist ja, zu zeigen, dass die ganze Folge (a_n) und nicht nur die Teilfolge (a_(n_k)) gegen a konvergiert. Deshalb betrachtet man den Abstand eines jeden Folgengliedes a_n zum Grenzwert a der Teilfolge (bis auf endlich viele Glieder am Anfang), also |a - a_n| .

Den Abstand zwischen a und a_n hofft man, beliebig klein abschätzen zu können.

Der Trick besteht darin, in |a - a_n| das Folgenglied a_(n_k) zu subtrahieren und wieder zu addieren, man schreibt also

|a - a_n| = |a - a_(n_k) + a_(n_k) - a_n| 

(in deinem Bild wurde dieser Schritt nicht hingeschrieben)

Darauf wendet man die Dreiecksungleichung an, d.h. es gilt 

|a - a_(n_k) + a_(n_k) - a_n| ≤ |a - a_(n_k)| + |a_(n_k) - a_n| ,

so entsteht der Term |a_(n_k)-a_n| .

Was beschreibt das überhaupt mathematisch? 

Nun, das ist der Abstand zwischen einem Glied der Teilfolge und einem beliebigen Glied der Folge. Da (a_n) Cauchy-Folge ist, ist für genügend große k und n auch dieser Abstand beliebig klein.

Gruß

Comments

[Fachkunde]

Hallo,

danke, ich habe schon mehr verstanden, aber warum ist |a_(n_k)-a_n|<epsilon/2 ? Wie lässt sich das rechtfertigen?

[eddiefox]

@Fachkunde

Weil (a_n) Cauchy-Folge ist.

Wenn |a_n - a_m| < ε/2 für alle n, m ≥ N , dann gilt das erst recht für die Glieder der Teilfolge a_(n_k), also |a_(n_k) - a_n| < ε/2 . Es muss nur k so groß sein, dass n_k ≥ N .

Was meinst du mit "ich habe schon mehr verstanden" ?
Hast du nach meiner Erklärung weniger verstanden als vorher?

[Fachkunde]

@eddiefox

Nein, ich meine, dass deine Antwort erleuchtend war. Nun bin ich zum vollen Verständnis gelangt, zumindestens vorläufig.

[eddiefox]

@Fachkunde

Achso, ok. :-)

Answer 2

[nauler]

Hallo Fachkunde,

der mathematische Beweis ist nicht so einfach und ist meiner Meinung nach auch nicht das Problem, sondern das Verständnis für die Art von Folge.

$\left|a_n-a_m\right|<c\ \ \ \ mit\ c\ >\ 0$

bedeutet nichts anderes, als dass der Abstand zwischen zwei Folgengliedern einen beliebigen Wert c nie überschreiten wird. Da dies für alle Folgenglieder gilt, müssen diese für aufsteigende n,m beliebig dicht zusammen laufen, sodass die Cauchy-Folge zwangsläufig immer kleiner als ein c sein muss. Sie konvergiert!

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung