Aussage zu Ganzrationalen Funktionen?
Stimmt diese Aussage?
Eine ganzrationale funktion, deren Graph achsensymmetrisch zur y achse ist, hat an der Stelle x=0 ein lokales extremum.
Mein Ansatz:
Falsch, denn eine Parabel ist auch eine ganzrationale funktion, die achsensymmetrisch ist aber an x=0 ein lokales minimum hat.
2 Antworten
ein "ein lokales extremum" ist entweder ein lokales Minimum oder Maximum.
eine Parabel hat immer eines von beiden . Aussage stimmt .
Laut wiki zählt die konstante Funktion f(x) = a ...............f(x) = a*x^0 aber nicht dazu , weil der Exponent von x aus der Menge der natürlichen Zahlen sein muss . Die Null gehört nicht dazu .
Du verwechselst Maximum mit Extremum.
Ein Extremum kann ein Maxi- oder Minimum sein.
Die Aussage ist aber trotzdem falsch, denn die
ganzrationale Funktion f(x) = a hat bei x = 0 kein Extremum.
Laut wiki zählt die konstante Funktion f(x) = a ...............f(x) = a*x^0 aber nicht dazu , weil der Exponent von x aus der Menge der natürlichen Zahlen sein muss . Die Null gehört nicht dazu .
oder 0 doch dazu . Wiki ist da wieder mal ein bisschen unschlüssig : die konstanten Fkt werden unter "Sonderfälle" abgehandelt. Gehören die nun alle dazu oder nicht ?
Die gehören alle dazu. Ganzrationale Funktionen sind Funktionen, die aus der Addition von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten (ggbf. multipliziert mit einem Skalar) gebildet werden können. Dass in diesem Fall auch die Null als natürlicher Exponent zählt, siehst du auch daran, dass ja auch sowas wie
f(x) = x² + 1
als ganzrationale Zahl gilt - und schon das +1 wäre ohne den Exponenten 0 gar nicht möglich. Außerdem bilden die ganzrationalen Funktionen eine Algebra (man kann sie also addieren und multiplizieren, auch da kann man auf die konstanten Funktionen nicht verzichten.
Eine Funktion f nimmt an einer Stelle x ein lokales Maximum (Minimum) an, wenn es eine Umgebung von x gibt, in der kein Funktionswert größer (kleiner) als f(x) ist. Das ist die übliche Definition eines Extrempunktes (siehe auch https://de.wikipedia.org/wiki/Extremwert), da steht ausdrücklich nicht, dass f(x) echt größer (echt kleiner) als die Punkte aus der Umgebung sein muss. Das heißt: Eine konstante Funktion nimmt also für jedes x des Definitionsbereichs ein lokales Minimum und Maximum an, also hier insbesondere auch in x=0.