Aufgaben zum Abstand Punkt-Ebene?
Gegeben Punkt p(10, -1, -4) und Ebene 2x-8y+16z=45
Berechnen Sie den Abstand!
wie kann man mit solche Aufgaben umgehen ? was sind die Schritte ?
4 Antworten
Hallo,
die beiden Richtungsvektoren der Ebene und ein Vektor, der den gegebenen Punkt mit einem Punkt der Ebene verbindet, spannen einen Spat, auch Parallelepiped genannt, auf. Das Volumen dieses Spats kannst Du auf zwei Arten berechnen: Einmal über das Spatprodukt, also das Skalarprodukt vom Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren und dem Verbindungsvektor zwischen Punkt und Ebene; zum anderen über die Formel Grundfläche mal Höhe.
Die Grundfläche des Spats wiederum ist der Betrag des Kreuzproduktes, das nämlich einen Normalenvektor der Ebene darstellt. Wenn Du also das Volumen des Spats durch seine Grundfläche teilst, bekommst Du als Ergebnis dessen Höhe und damit den Abstand des Punktes zur Ebene.
Die beiden Richtungsvektoren brauchst Du nicht, weil Du das Kreuzprodukt direkt aus der Koordinatengleichung ablesen kannst. Es ist identisch mit den Koeffizienten von x, y und z, hier also (2/-8/16).
Das einzige, was Du noch brauchst, ist irgendein Punkt der Ebene.
Um so einen zu bekommen, setzt Du am einfachsten y und z=0 und löst die Gleichung 2x-8*0+16*0=45, also 2x=45 nach x auf:
x=45/2 und damit Q=(45/2|0|0). Das ist einer von unendlich vielen Punkten auf der Ebene. Jeder andere Punkt, der die Ebenengleichung erfüllt, tut's natürlich auch.
Nun bildest Du noch den Verbindungsvektor zwischen P und Q:
(10/-1/-4)-(22,5/0/0)=(-12,5/-1/-4).
Skalarprodukt von Normalenvektor und Verbindungsvektor:
(-12,5/-1/-4)·(2/-8/16)=-25+8-64=-81.
Das teilst Du nun durch den Betrag des Normalenvektors,
also durch die Wurzel (2²+(-8)²+16²)=18.
-81/18=-4,5.
Das Minus bedeutet, daß der Ursprung des Koordinatensystems zwischen Punkt und Ebene liegt. Der Abstand ist natürlich der Betrag, also 4,5 Einheiten.
Eine andere Möglichkeit ist das Lotpunktverfahren. Dies Verfahren hier ist aber etwas geschmeidiger.
Herzliche Grüße,
Willy
Das ist eine Standardaufgabe mit einem Standardlösungsverfahren:
machs doch ganz einfach: P und E in die Abstandsformel einsetzen. einsetzen;
d = I (2•10 -8•(-1) +16•(-4) - 45 ) / wurzel(2²+8²+16²) I = 81/18 = 4,5
Hier gut erläutert:
... ergibt t = (1/4) und Abstand d = 4,5
(siehe auch Berechnung von Willy1729)