Geben Sie die Gleichung der Ebene ε durch die Punkte A, B, C in der parameterfreien Form ax + by + cz = d an!?
Gegeben seien die Punkte A(1, 2, 3), B(2, −2, 1) und C(3, 0, 3) im Raum.
wie kann man mit so Aufgabe umgehen ? was sind die schritte ?
2 Antworten
1) die Dreipunktgleichung der Ebene anwenden,weil hier ja 3 Punkte gegeben sind
E: x=a+r*(b-a)+s*(c-a)
A(1/2/3)=a(1/2/3) und B(2/-2/1)=b(2/-2/1) und C(3/0/3)=c=(3/0/3)
in die Ebenengleichung einsetzen und ausrechnen ergibt die
Vektorielle Parametergleichung der Ebene
E: x=a+r*u+s*v
A(1/2/3)=a(1/2/3)
r=Ebenenparameter,ist nur eine Zahl
s=Ebenenparameter,ist nur eine Zahl
u=(b-a)
v=(c-a)
2) die Vektorielle Parametergleichung der Ebene in die Normalengleichung der Ebene umwandeln
E: (x-a)*n=0
A(1/2/3)=a(1/2/3)
n(nx/ny/nz)=Normalenvektor der Ebene errechnet sich aus den Richtungsvektoren u und v
1) Möglichkeit über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) ,siehe Mathe-Formelbuch,was man privat in jedem Buchladen bekommt.
a kreuz b=c hier u kreuz v=n
Der Vektor n(nx/ny/nz) steht senkrecht auf den Vektoren u(ux/uy/uz) und v(vx/vy/vz)
2) Möglichkeit über das Skalarprodukt a*b=ax*bx+ay*by+az*bz=..
Das Skalarprodukt muß hier NULL sein,weil ja n(nx/ny/nz) senkrecht auf u(ux/uy/uz) und v(vx/vy/vz) steht.
1) ux*nx+uy*ny+uz*nz=0
2) vx*nx+vy*ny+vz*nz=0
wir setzen nz=1 und erhalten somit 2 Gleichungen mit den Unbekannten,nx und ny
Hinweis: Da wir hier 3 Unbekannte,nx,ny und nz haben und nur 2 Gleichungen,gibt es unendlich viele Lösungen,weil man nz frei wählen kann.
Siehe Lösbarkeitsregeln lineares Gleichungssystem (LGS)
3) die Normalengleichung der Ebene ergibt dann ausmultipliziert die Koordinatengleichung der Ebene
E: a*x+b*y+c*z=0
aus der Normalengleichung (x/y/z)-(ax/ayy/az))*(nx/ny/nz)=0
auch hier Skalarprodukt (x*nx+y*ny+z*nz) -1*(ax*nx+ay*ny+az*nz)=0
Erstmal die Parameterform der Ebene bilden, mit Ortsvektor ( nimmst einen Punkt beispielsweise A) dann die Vektoren AB und AC als Richtungsvektoren.
Dann umwandeln Parameterform in Normalenform
kreuzprodukt der Richtungsvektoren liefert den Normalenvektor
Dann Normalenform "ausmultiplizieren " dann hast du es