Aufgabe Geometrie?
Wie löse ich die aufgabe
2 Antworten
Hallo,
der geringste Abstand zur Oberfläche ist auch der geringste Abstand der Geraden zum Mittelpunkt des Planeten.
Der Mittelpunkt ist gegeben; die Geradengleichung bezeichnet einen beliebigen Punkt auf der Geraden, der nur von t abhängig ist.
Das Quadrat des Abstandes zwischen zwei Punkten (a|b|c) und (x|y|z) ist
(x-a)²+(y-b)²+(c-z)².
Ist das Quadrat minimal, ist es auch der Abstand.
Du setzt also den Mittelpunkt und die Geradengleichung in die Abstandsformel ein, leitest nach t ab und setzt die Ableitung gleich Null.
Dann löst Du nach t auf und berechnest mit dem errechneten t den Punkt auf der Geraden, der dem Mittelpunkt des Planeten und damit dessen Oberfläche am nächsten ist.
Vom Abstand zwischen diesen beiden Punkten mußt Du 6 km für den Radius abziehen, um den Abstand zur Oberfläche zu bekommen.
Wenn ich mich nicht verrechnet habe, ist t=20.
Herzliche Grüße,
Willy
a)
Abstand M zur Geraden g:
Norm (((38,98,1) - (8,8,1)) x (2,4,1)) / Norm(2,4,1) =
30*sqrt(14) / sqrt(21) = 10*sqrt(6)
Davon noch den Radius r abziehen.
b)
Für den Punkt T1=(x,y,z) auf der Flugbahn gilt Abstand T1-M = 10*sqrt(6):
(x - 38)² + (y - 39)² + (z - 1)² = 100*6
T1 durch g(t) ersetzen:
((8+2t) - 38)² + ((8+4t) - 98)² + ((1+t) - 1)² = 100*6
Lösung t= 20, g(20) = T1 = (48,88,21)
Die Kreisbahn hat den Radius 10*sqrt(6). Der halbe Umfang entspricht der Länge der Flugbahn von T1 nach T2:
T2 = M + (M-T1) = (38,98,1) + (-10,10,-20) = (28,108,-19)