Aufgabe Geometrie?

2 Antworten

Hallo,

der geringste Abstand zur Oberfläche ist auch der geringste Abstand der Geraden zum Mittelpunkt des Planeten.

Der Mittelpunkt ist gegeben; die Geradengleichung bezeichnet einen beliebigen Punkt auf der Geraden, der nur von t abhängig ist.

Das Quadrat des Abstandes zwischen zwei Punkten (a|b|c) und (x|y|z) ist
(x-a)²+(y-b)²+(c-z)².

Ist das Quadrat minimal, ist es auch der Abstand.

Du setzt also den Mittelpunkt und die Geradengleichung in die Abstandsformel ein, leitest nach t ab und setzt die Ableitung gleich Null.

Dann löst Du nach t auf und berechnest mit dem errechneten t den Punkt auf der Geraden, der dem Mittelpunkt des Planeten und damit dessen Oberfläche am nächsten ist.

Vom Abstand zwischen diesen beiden Punkten mußt Du 6 km für den Radius abziehen, um den Abstand zur Oberfläche zu bekommen.

Wenn ich mich nicht verrechnet habe, ist t=20.

Herzliche Grüße,

Willy

Von Experte Willy1729 bestätigt

a)

Abstand M zur Geraden g:

Norm (((38,98,1) - (8,8,1)) x (2,4,1)) / Norm(2,4,1) =

30*sqrt(14) / sqrt(21) = 10*sqrt(6)

Davon noch den Radius r abziehen.

b)

Für den Punkt T1=(x,y,z) auf der Flugbahn gilt Abstand T1-M = 10*sqrt(6):

(x - 38)² + (y - 39)² + (z - 1)² = 100*6

T1 durch g(t) ersetzen:

((8+2t) - 38)² + ((8+4t) - 98)² + ((1+t) - 1)² = 100*6

Lösung t= 20, g(20) = T1 = (48,88,21)

Die Kreisbahn hat den Radius 10*sqrt(6). Der halbe Umfang entspricht der Länge der Flugbahn von T1 nach T2:

T2 = M + (M-T1) = (38,98,1) + (-10,10,-20) = (28,108,-19)