Winkel geometrie?
Wie geht diese Aufgabe?
2 Antworten
Ebene E1: 3x + 4z = 0
Ebene E2: ax + by + cz = d
Punkt (0,0,0) ist Teil der Ebene E2 -> d = 0
Punkt (4,0,-3) ist Teil der Ebene E2 -> 4a - 3c = 0 und damit a = 3/4*c
Der Normalenvektor von E1 lautet n1 = (3,0,4)
Der Normalenvektor von E2 lautet n2 = (a,b,c)
Winkel zwischen n1 und n2:
cos(alpha) = n1*n2/(|n1|*|n2|)
cos(30°) = (3a+4c)/( 5*sqrt(a²+b²+c²) )
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann die Norm sqrt(a²+b²+c²) mit 1 angenommen werden
cos(30°) = (3a+4c)/5
Wegen a = 3/4*c folgt
cos(30°) = 5/4*c
Daraus folgt:
c = 2/5 * sqrt(3)
a = 3/4 * c = 3/10 * sqrt(3)
Wegen sqrt(a²+b²+c²) = 1 folgt b = 1/2 oder -1/2
Hallo,
die gesuchte Ebene hat die Koordinatenform ax+by+cz=d.
Da der Punkt (0|0|0) darin vorkommt, muß d=0 gelten, denn 0a+0b+0c=0.
Nach Einsetzen von Punkt (4|0|-3) ergibt sich noch die Gleichung 4a+0b-3c=0, also 4a=3c und c=(4/3)a.
So kommst Du zur Koordinatenform ax+by+(4/3)az=0. Der Einfachheit halber multiplizierst Du mit 3:
3ax+3by+4az=0.
Normalenvektor somit (3a/3b/4a).
Der Kosinus des Winkels 30° ist Wurzel (3)/2.
Haben die Ebenen einen Winkel von 30°, haben es auch deren Normalenvektoren.
Normalenvektor der ersten Ebene ist (3/0/4), wie aus der Aufgabe abzulesen; Normalenvektor der zweiten wie gesagt (3a/3b/4a).
Nach der Formel für den Winkel zwischen zwei Vektoren muß daher gelten:
Wurzel (3)/2=[(3/0/4)·(3a/3b/4a)]/(|3/0/4|*|3a/3b/4a|).
Bekanntlich ist |x/y/z|=Wurzel (x²+y²+z²) der Betrag eines Vektors.
Aus der Gleichung läßt sich eine Koordinatengleichung der gesuchten Ebenen erstellen, die nur noch von a abhängig ist, also eine Ebenenschar, die die geforderten Bedingungen erfüllt. Tipp: Durch Quadrieren der Gleichung kannst Du die lästige Wurzel loswerden. Anschließendes Wurzelziehen ergibt einen Term für b, der nur noch von a abhängig ist, so daß sowohl b als auch c aus der Gleichung verschwinden.
Herzliche Grüße,
Willy
Das weiß man entweder auswendig oder man gibt in den Rechner cos (30°) ein. Rechner auf DEG einstellen!
Der Kosinus des Winkels 30° ist Wurzel (3)/2.
Woher weiß ich das