arccos Funktion für x->∞ untersuchen?
Hallo ich habe folgende Funktion:
diese soll ich untersuchen für
Kann mir jemand zeigen wie ich das mache mit rechenweg?
3 Antworten
Von innen nach aussen natürlich, wie sonst? Gegen welchen Wert geht wurzel(|x|+1)? Gegen welchen WErt geht 1/wurzel? Gegen welchen Wert geht der cos^-1 und warum?
Ich rechne das nicht nach. Wenn du den Rechenweg wie ich ihn vorgegeben habe eingehalten hast wird es wohl stimmen.
Du kannst theoretisch die Reihentwicklung der Funktion an |x| = unendlich betrachten.
Doch das wäre hier recht anstrengend, also wäre es wohl eher zu empfehlen einfach die Stetigkeit vom arccos zu nutzen um den Limes in die Klammer zu holen. Damit haben wir nur noch den Bruch 1/sqrt(abs(x) + 1) aus den wir den Limes ziehen müssen. Da x gegen unendlich geht, geht auch abs(x) + 1 gegen unendlich. Die Wurzel aus etwas unendlichen ist unendlich, also bleiben wir übrig mit 1/unendlich, was im Sinne der Limitrechnung 0 ist. Am Ende steht da also arccos(0), was natürlich pi/2 + k*pi ist.
als svg:
als LaTeX:
\begin{align*}
f\left( x \right) &= \arccos\left( \frac{1}{\sqrt{\left| x \right| + 1}} \right)\\
\lim_{{\left| x \right|} \to {\infty}} f\left( x \right) &= \lim_{{\left| x \right|} \to {\infty}} \arccos\left( \frac{1}{\sqrt{\left| x \right| + 1}} \right) \quad\mid\quad \text{nutze die Stetigkeit von } f \text{ zum Umformen}\\
\lim_{{\left| x \right|} \to {\infty}} f\left( x \right) &= \arccos\left( \lim_{{\left| x \right|} \to {\infty}} \frac{1}{\sqrt{\left| x \right| + 1}} \right) \quad\mid\quad \text{nutze, dass unendlich plus 1 unendlich ist}\\
\lim_{{\left| x \right|} \to {\infty}} f\left( x \right) &= \arccos\left( \lim_{{a} \to {\infty}} \frac{1}{\sqrt{a}} \right) \quad\quad\quad\quad\mid\quad \text{nutze, dass die Wurzel aus unendlich auch unendlich ist}\\
\lim_{{\left| x \right|} \to {\infty}} f\left( x \right) &= \arccos\left( \lim_{{b} \to {\infty}} \frac{1}{b} \right)\quad\quad\quad\quad \quad\mid\quad \text{nutze } \lim_{{x} \to {\infty}} \frac{1}{x} = 0\\
\lim_{{\left| x \right|} \to {\infty}} f\left( x \right) &= \arccos\left( 0 \right) = \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi, ~k \in \mathbb{Z}\\
\end{align*}
https://www.wolframalpha.com/input?i=lim.+x+to+inf+arccos++%28++1%2Fsqrt%28∣x∣%2B1%29%09++%29
und
https://www.wolframalpha.com/input?i=Plot+arccos++%28++1%2Fsqrt%28∣x∣%2B1%29%09++%29
also ich komme am ende auf arccos(0) also 90 bzw. pi/2