Antwort Anregung Übertragungsfunktion Sinus?
- Berechnen Sie die Antwort y(t) auf eine Anregung mit sin(2t) des Systems mit der Übertragungsfunktion G(s)=s/(s+2)(s-2).
- Ermitteln Sie die Antwort y(t) auf eine Anregung mit sin(t) des Systems mit der Übertragungsfunktion G(s)=[(s+j)(s-j)]/(s+1).
2 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/poseidon42/1460229407172_nmmslarge__0_0_383_383_3768e5723c9484f0368755f73e303a0e.jpg?v=1460229409000)
1.)
G(s) = s/((s + 2)*(s - 2))
W(s) = L{ sin(2t) } = 2/(s² + 4)
Entsprechend folgt die Ausgangsfunktion Y(s) zu:
Y(s) = G(s)*W(s) = s/((s + 2)*(s - 2)) * 2/(s² + 4)
Eine entsprechende Partialbruchzerlegung liefert:
Y(s) = A/(s + 2) + B/(s - 2) + (Cs + D)/(s² + 4)
mit A = lim(s->-2){ Y(s)*(s + 2) } = (-2)/(-4) * 2/(4 + 4) = 1/8
und B = lim(s-> 2){ Y(s)*(s - 2) } = 2/4 * 2/(4 + 4) = 1/8
Für s = 0 folgt:
Y(s = 0) = 0 = (1/8)/2 + (1/8)/(-2) + D/4 ---> D = 0
Und für s = 1 folgt schließlich:
Y(s = 1) = 1/(3*(-1)) * 2/(1 + 4) = (1/8)/3 + (1/8)/(-1) + C/5
--> C = -0.25
Wir erhalten damit final als Antwort:
Y(s) = (1/8)/(s + 2) + (1/8)/(s - 2) + (-0.25)/(s² + 4)
Und damit durch Rücktransformation in den Zeitbereich:
y(t) = (1/8)*e^(-2t) + (1/8)*e^(2t) - 0.5 * sin(2t)
2.)
G(s)=[(s+j)(s-j)]/(s+1) = (s² + 1)/(s + 1)
W(s) = L{ sin(t) } = 1/(s² + 1)
Das Ausgangssignal folgt zu
Y(s) = G(s)*W(s) = 1/(s + 1)
Und durch Rücktransformation in den Zeitbereich zu
y(t) = e^(-t)
![](https://images.gutefrage.net/media/user/poseidon42/1460229407172_nmmslarge__0_0_383_383_3768e5723c9484f0368755f73e303a0e.jpg?v=1460229409000)
Danke für die Anmerkung. Ich habe einfach falsch resubstituiert ... :
Y(s) = (1/8)/(s + 2) + (1/8)/(s - 2) + (-0.25)s/(s² + 4)
Hier wurde in der obigen Ausführung der Faktor s vor dem C vergessen bei der Resubstitution. Mit L{ s/(s² + 4) } = cos(2t) , folgt damit also wie von dir bereits erwähnt:
y(t) = (1/8)*e^(-2t) + (1/8)*e^(2t) - 0.25 * cos(2t)
![](https://images.gutefrage.net/media/user/michiwien22/1558864367180_nmmslarge__101_0_186_186_a55bbd11e4dc916ca856e2e974d91619.png?v=1558864367000)
-1/4 * cos(2t) meinte ich oben natürlich. Nun passt es auf beiden Seiten.
(2) stimmt sowieso.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/michiwien22/1558864367180_nmmslarge__101_0_186_186_a55bbd11e4dc916ca856e2e974d91619.png?v=1558864367000)
Ich komme bei (1) auf die Schnelle auf
Möglicherweise hat poseidon hier irgendwo einen kleinen Fehler drin. Ich habe bei ihm gepostet.
>Und damit durch Rücktransformation in den Zeitbereich:
y(t) = (1/8)*e^(-2t) + (1/8)*e^(2t) - 0.5 * sin(2t)
Sicher?
ich komme auf
y(t) = (1/8)*e^(-2t) + (1/8)*e^(2t) - 1/8 * cos(2t)
Das sieht man bereits am eingeschwungenen Zustand
F(w) = - jw/(w²+4)
Für w=2 bekommen wir
F(2) = -j2/(8) = -j/4
Aus dem sin wird daher ein -cos...