Addition von Vektoren und Betrag eines Vektors?
Hey Leute,
ich habe in ein Koordinatensystem die drei Punkte A,B, und C eingesetzt mit folgenden Koordinaten:
A (1/2), B(5/2) und C(3,5/4)
Anschließend die Vektoren ermittelt:
Vektor AC = Vektor c = (2,5 , 2)^T und der dazugehörigen Betrag: 3,2cm
Vektor AB = Vektor b = (4 , 0)^T und der dazugehörigen Betrag: 4cm
Wenn man rein logisch beide Vektoren bzw. ihre Beträge addiert, sollte dort doch 7,2cm rauskommen; JETZT das große aber:
Egal ob mit Parallelverschiebung oder per Erstellung des Parallelogramms und Betragsausrechnung des Summenvektors, kommt bei mir eine Länge von 6,8007cm raus...
Nun zu meiner Frage :D
Wo ist mein Logikfehler? Oder eventuell Rechenfehler?
Schonmal vielen Dank im voraus :)
2 Antworten
Ich weiß nicht, wie du beidem Beträgen plötzlich auf die Einheit „cm“ kommst, wenn gar nicht klar ist, dass eine Längeneinheit einem Zentimeter entsprechen soll.
Die Vektoren und die Beträge hast du sonst jedoch erst einmal richtig berechnet...
Wenn man rein logisch beide Vektoren bzw. ihre Beträge addiert, sollte dort doch 7,2cm rauskommen
Wenn man die Beträge addiert, erhält man 7,2. Das ist richtig.
Allerdings ist das nicht der Betrag der Summe der beiden Vektoren!
Das liegt daran, dass die Vektoren nicht in genau die gleiche Richtung zeigen.
Stelle dir doch mal das folgende Beispiel vor. Du läufst 7 m nach vorne und dann 5 m in die entgegengesetzte Richtung wieder zurück. Bist du dann 7 m + 5 m = 12 m von deiner ursprünglichen Position entfernt? Nein, bist du nicht! Stattdessen bist du nur 7 m - 5 m = 2 m von deiner ursprünglichen Position entfernt.
Und sowas ähnliches passiert auch hier. (Nur nicht ganz so extrem, dass man gleich in die genau entgegengesetzte Richtung laufen würde.)
Der rote Pfeil repräsentiert den Vektor AB + AC. Der Betrag dieses Vektors ist etwa 6,8.
Der blaue Weg hat insgesamt eine Länge von etwa 7,2. Der blaue Weg ist länger als der rote Weg, da man beim blauen Weg quasi einen Umweg über den Punkt B macht.
Auf der linken Seite hat man den Betrag |v + w| des Vektor v + w.
Auf der rechten Seite hat man die Summe der Beträge |v| und |w|.
Wenn man das auf den konkreten Fall bezieht...
|AB + AC| ≠ |AB| + |AC|
... so ist die linke Seite |AB + AC| der Betrag des Vektors AB + AC, was der Länge des in meiner Zeichnung rot markierten Pfeils entspricht. Und die rechte Seite |AB| + |AC| ist die Summe der Beträge der Vektoren AB und AC, was in meiner Zeichnung der Länge des blau markierten Weges entspricht.
Nein, wenn du zwei Vektoren addierst dann hängst du ihre Pfeile aneinander aber addierst nicht die Länge. Stell dir zwei orthogonale Vektoren vor. Wenn du sie aneinanderhängst und über beide die Länge bildest hast du die Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks und diese Länge ist ja deutlich kürzer als die von der Addition der Katheten.
Grüße
@mihisu vielen vielen Dank, für die geniale Antwort. :) Da habe ich wohl einfach die Summe der Beträge und die Summe der Vektoren im Kopf fälschlicherweise gleichgesetzt...
Könntest du mir noch mal erklären was die linke und rechte Seite der folgenden Gleichung repräsentieren:
∣v⃗+w⃗∣ ≠ ∣v⃗∣ + ∣w⃗∣