Abituraufgabe Mathe?
Hey, also ich bereite mich gerade mit dieser Aufgabe auf mein Mathe-Abitur vor. Die 1. Aufgabe habe ich hinbekommen, dabei müsste es sich ja theoretisch um eine Funktion 3. Grades handeln, welche durch den Koordinatenursprung verläuft. Aber wie bearbeite ich Aufgabe 2 und 3. Bei 2. fehlt mir doch die Funktionsgleichung von f1, sonst könnte ich diese Dinge ja einfach anhand einer Rechnung begründen. Aber die Skizze ist ja auch nicht wirklich genau, weshalb sich daraus ja auch keine Funktionsgleichung ablesen lässt. Wie würdet ihr das machen?
3 Antworten
2a)
Weil f' keine Nullstelle hat
2b)
Weil f' bei x = 2 das Vorzeichen wechselt, d.h. f''(2) = 0 gilt.
2c)
f''(2-epsilon) < 0
f''(2+epsilon) > 0
daraus folgt pos. Steigung f'' bei x=2
2d)
Weil f' immer positiv ist.
3)
f'(x) = (x-2)² + 1
f(x) = 1/3*x³ - 2x² + 5x
f''(x) = 2x-4
f'''(x) = 2
Nullstelle bei f(0) = 0
f'(x) hat keine Nullstelle
f''(x) = 0 bei x = 2. Das ist eine Wendestelle, denn f'''(2) != 0
Wendetangente im Punkt (2,f(2)) hat die Steigung f'(2) = 1 :
t(x) = x + a
und läuft durch den Punkt (2,f(2)) = (2, 14/3) --> a = 14/3 - 2
t(x) = x + 8/3
Aufgabe 2)
a) Es liegt kein Extremum vor, da die Steigung (f') an keiner Stelle = 0 ist.
b) bei x = 2 liegt die kleinste Steigung vor, da f'(x) dort einen Tiefpunkt hat. Wendepunkte sind immer die Stellen mit den geringsten Steigungen, da dort die Krümmung wechselt.
c) Bei x = 2 lässt sich dem Graphen von f' entnehmen, dass f' positiv ist. Da f' die Steigung angibt, ist auch die Steigung im Wendepunkt positiv.
d) Wenn die Steigung immer positiv ist, nimmt f(x) ständig zu und niemals ab. Also ist f monoton steigend. Da die Steigung auch nirgends = 0 ist, ist f(x) sogar streng monoton steigend.
Aufgabe 3)
Da setzt du direkt die Scheitelpunktform an. Dann multiplizierst du das aus und leitest einmal ab, was f'' ergibt. über f''(3) = 2 kannst du dann a bestimmen.
f erhälst du, indem du f' integrierst.
Für die Nullstellen musst du f (x) = 0 setzen und nach x auflösen.
Den x-Wert vom Wendepunkt hast du ja schon: x = 2. Den setzt du in f(x) ein und erhälst damit die y-Koordinate.
Mit dem Wendepunkt und der Steigung im Wendepunkt kannst du die Geradengleichung ermitteln.
Hallo,
bei 2 reicht es, den Graphen zu betrachten.
Die Funktionsgleichung von f'(x) kannst Du aus den Angaben von Aufgabe 3 erschließen.
Scheitelpunktform f'(x)=a*(x-2)²+1.
a kannst Du durch f''(3)=2 ermitteln.
Herzliche Grüße,
Willy