Abbildungen, Potenzmenge, Bildmenge, Urbilder?
Hallo zusammen,
Kann mir Jemand diesen Beispiel erklären?
Was ich besonders nicht verstehe:
- P(N) → N0 ∪ {∞}, / was soll das bedeuten? wie kann die Menge natürlicher Zahlen mit der Menge der Unendlichkeit überhaupt vereinigt werden und was sagt diese Unendlichkeit überhaupt aus?! Also die Menge natürlicher Zahlen ist schonmal unendlich, also wieso wird das mit einer Unendlichkeit vereinigt :/
- x → |x|. / Auch hier, diese vertikale Klammer um x, bedeutet es die Mächtigkeit? und warum ist g(A)={0,1} ? Was ist z.B g({2})=?
Für hilfreiche Antworten wäre ich sehr dankbar!
warum g(A)={0,1} ergibt? Wir haben hier ja eine Funktion x |--> |x|
3 Antworten
Du verharrst zu sehr auf dem was du vom "rechnen" gewöhnt bist. Hier wird eine Menge (nämlich eine Teilmenge der Menge der natürlichen Zahlen N) auf ihre Mächtigkeit (also die Anzahl ihrer Elemente) abgebildet. Die Bilder der Menge A haben die Mächtigkeit 0 (g(leere Menge)) sowie 1 (g({1}) und g({56})). Die Urbildmenge von {2} ist die Menge aller Mengen mit Mächtigkeit 2, also die aller Mengen die genau zwei Elemente enthalten.
Mengenlehre, insbesondere bei (abzählbar und überabzählbar) unendlich vielen Elementen ist Gehirnverknotung pur. Man muß immer genau schauen worauf gerade eine Abbildung operiert, also was deren Argument und was deren Ergebnis tatsächlich ist.
Das Abitur soll die "Allgemeine Hochschulreife" vermitteln. Dieser Bildungskanon ist zwar (wie alles in der Bildung) landesspezifisch, aber es gibt einige Gemeinsamkeiten. So gehört zum Bildungskanon zum Beispiel den "Faust" gelesen zu haben, in etwa B3-C1 Level in Englisch erreicht zu haben sowie zumindest die Grundlagen der Vektorrechnung und der Differential- und Integralrechnung zu beherrschen. Vor einigen Jahrzehnten kam dann das Credo der "Anwendungsorientierung" besonders in der Mathematik auf, warum auch immer. Statt eine einigermaßen fundierte Ausbildung in der mathematischen Sprache zu lehren wurde die sowieso schon knapp bemessene Zeit dazu verwendet, krampfhaft Anwendungen für die Theorie zu finden. Wenn du einige meiner diesbezüglichen Antworten liest wirst du fest stellen dass ich das für fatal halte.
"Mathematische Sprache" ist in der Schule heutzutage nur noch eine Randerscheinung, wenn überhaupt. Meine Kinder (16 und 18, der 16jährige in Ausbildung, die 18jährige in der FOS13) wundern sich immer wieder wenn ich sage "ein = wird nur hin geschrieben wenn beide Seiten GLEICH sind". Das tut mir sehr leid für dich. Welches Fach studierst du? Eventuell kann dir das Buch von Beutelsbacher
https://www.amazon.de/Das-ist-trivial-mathematischer-Studienanf%C3%A4nger/dp/3834807710
etwas weiter helfen.
Meine Tochter hat übrigens aus eigenem Interesse ihr Fachreferat in der FOS12 über Hilbert's Hotel gehalten und musste sich demzufolge wenigstens ein klein wenig mit mathematischen Fachbegriffen beschäftigen.
Vielleicht wird dich das wundern, aber ich hatte Mathe als Leistungskurs und war nicht schlecht. Und ja das stimmt, es ist sehr Anwendungsbezogen, vor allem hier in NRW. Wenn ich die Abiturklausuren aus Bayern schaue, dann sieht das theoretischer aus als hier in NRW, z.B benutzt man dort sowas wie x |----> f(x) oder man arbeitet mit Intervalle usw..
In der Schule habe ich fast das ganze Mathebuch durchgerechnet. Jetzt auf der Uni muss ich allerdings feststellen, dass ich kaum abstraktes Denken entwickeln konnte. vielleicht hat mir das Abitur sogar geschadet, weil ich so fest an "vorheriges Denken" klammere. Ich studiere Informatik, das ist leichter als reine Mathematik, aber trotzdem...
Ich habe mit Informatik angefangen bevor ich zur Mathematik gewechselt bin. Mathematik hatte ich mir zunächst nicht zugetraut und erst an der Uni realisiert dass ich es doch kann. Nur Mut, das wird schon. Wenn du die mathematischen Grundfertigkeiten wie Termrechnen und Bruchrechnen einigermaßen beherrschst solltest du gewappnet sein. Nicht aufgeben ist alkes.
was soll das bedeuten? wie kann die Menge natürlicher Zahlen mit der Menge der Unendlichkeit überhaupt vereinigt werden und was sagt diese Unendlichkeit überhaupt aus?! Also die Menge natürlicher Zahlen ist schonmal unendlich, also wieso wird das mit einer Unendlichkeit vereinigt :/
Weil die Funktion kann auch den Wert unendlich haben, unendlich ist aber keine Natürliche Zahl, weswegen es noch extra angehangen werden muss. |N| ist ja unendlich.
Auch hier, diese vertikale Klammer um x, bedeutet es die Mächtigkeit? und warum ist g(A)={0,1} ? Was ist z.B g({2})=?
Ja das ist die Mächtigkeit (bzw die Anzahl der Elemente die in x sind)
g(A) ist die Menge der Funktionswerte, die Elemente aus A annehmen können
da g({})=0
g({2})=1
g({56})=1,
Werden nur die Werte 0 und 1 angenommen, somit ist g(A)={0,1}
Genau, die Abbildung bildet Teilmengen der natürlichen Zahlen auf ihre Mächtigkeit ab. Zb wird die Teilmenge A = {1,2,3} auf 3 abgebildet, weil A 3 Elemente besitzt. In dem Beispiel mit A = {leere Menge, {2}, {56} } muss man ein bisschen vorsichtig sein, denn A ist eine Teilmenge von P(N), sprich sie enthält Elemente aus P(N). Man muss nun g auf alle Elemente von A anwenden und bekommt dann die Bildmenge, nämlich ist g(leere Menge) = 0, g({2}) = g({56}) = 1, damit die Bildmenge also g(A) = {0,1}.
Wenn man die natürlichen Zahlen mit {∞} vereinigt, dann hat man per se nicht anderes als eine Menge, welche die natürlichen Zahlen sowie das Symbol ∞ enthält, es ist also erstmal nur ein Symbol, man könnte es auch A nennen wenn man möchte. Man definiert dann einfach die Kardinalität einer unendlichen Menge über das ∞ Symbol, es ist quasi also einfach ein Platzhalter
Dann ist was mit dem Schulsystem schief gelaufen. Weil das, was in der Schule gelehrt wird, fast nichts mehr mit der Unimathe zu tun hat. Kein Wunder dass wir hier so viel Schwierigkeiten mit MINT Fächer haben. Anstatt schon in der Schule über solche Dinge zu lehren, wird man nur noch mit Ableitungen beschäftigt...