4 Zahlen, deren Summe und Produkt gleichgross sind?
x+y+z+w=9,27
xyzw=9,27
Weiss jemand wie man da vorgehen soll und was die Loesung ist?
Das ist unser Hausaufgabe, das herauszufinden…:(
(Hinweis: es kann sein, dass 2,3, oder sogar alle Variablen gleichgross sind)
Danke im Voraus!
7 Antworten
Da Variablen doppelt vorkommen dürfen, setze ich x = y = 1.
Damit wird 2 + z + w = 9,27
<=> z + w = 7,27 (I)
und z * w = 9,27 (II)
Gleichung (I) umformen führt zu
z =7,27 - w
Dieses z setzen wir in Gleichung (II) ein, das führt zu
0 = w² - 7,27w + 9,27
Anwenden der pq-Formel führt zu
w = 3,635 + 1,9857 bzw
w = 3,635 - 1,9857
Das können wir in Gleichung (I) einsetzen und bekommen
z = 1,6492 und w = 5,6207 (oder umgekehrt)
Das sind gerundete Zahlen.
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Entsprechend kann man x = 1, y = 2 setzen und kommt damit zu
3 + z + w = 9,27
2 * z * w = 9,27
umgeformt:
z + w = 6,27
z * w = 4,635
Weiteres Vorgehen wie oben.
Ja, ich habe einfach zwei Zahlen gewählt und die anderen zwei berechnet.
Allgemein:
Wähle zwei Zahlen a und b
x = a
y = b
z = 1/b
w = (x+y+z)/(a-1)
Zu zeigen: x + y + z + w = x • y • z • w
Beweis:
x + y + z + w = a + b + 1/b + (a+b+1/b)/(a-1)
x • y • z • w = a • b • 1/b • (a+b+1/b)/(a-1) =
a • (a+b+1/b)/(a-1) =
((a-1)+1) • (a+b+1/b)/(a-1) =
(a-1) • (a+b+1/b)/(a-1) + 1• (a+b+1/b)/(a-1) =
(a+b+1/b) + (a+b+1/b)/(a-1) =
a + b + 1/b + (a+b+1/b)/(a-1) = x + y + z + w
qed.
Du hast eine interessante Lösung gefunden. Damit ist bewiesen, dass x + y + z + w = x * y * z * w ist, wenn x = a, y = b, z = 1/b und w = (a + b + 1/b)/(a – 1) ist, für a ≠ 1 und b ≠ 0.
Setzt man z.B. a = 2 uns b = 2, so folgt daraus x = 2, y = 2, z = 0,5 und w = (2 + 2 + 0,5)/(2 – 1) = 4,5 und 2 + 2 + 0,5 + 4,5 = 2 * 2 * 0,5 * 4,5 = 9. Das passt, ergibt aber nicht 9,27.
Wie kommt man an die 9,27?
Setzt man a = 5 uns b = 1,8, wie in meinem Beispiel, so folgt daraus x = 5, y = 1,8, z = 1/1,8 = 0,55... und w = (5 + 1,8 + 1/1,8)/(5 – 1) = 1,8388... und 5 + 1,8 + 0,55... + 1,8388... = 5 * 1,8 * 0,55... * 1,8388... = 9,194... Beide Gleichungen ergeben das gleiche Ergebnis, aber nicht 9,27.
Will man die 9,27 mit Deiner Formel erzwingen, so sind bestimmte Paarungen von a und b notwendig, z.B. a = 1,64924... und b = 1.
Folglich gibt es mehr als einen Lösungsalgorithmus für das Problem, denn mit a = 5 und b = 1,8 gibt es nach meinem Beispiel für 9,27 eine Lösung:
5 + 1,8 + 0,53127775... + 1,93872224... = 5 * 1,8 * 0,53127775... * 1,93872224... = 9,26999991... = 9,27
Und es gibt zahlreiche weitere Lösungsmöglichkeiten.
da hilft probieren. Die kleinen Zahlen sind da nicht schlecht:
2+2=4
2*2=4
und schon hast du ein Beispiel. Mehr wird wohl nicht dabei herauskommen, da das Produkt schnell sehr große Zahlen ergibt.
a + b = 9,27
a * b = 9,27
a = 9,27 - b in die zweite Gleichung einsetzen und lösen (quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel lösen.
1,1402
8,1227
1/3+2+3+16/3=1/3×2×3×16/3
Brauchst du noch mehr?
Ich habe vor ein paar Tagen eine ähnliche Aufgabe gelöst:
https://www.gutefrage.net/frage/matghehausaufgaben
Vielleicht hilft dir das ja weiter. Ist allgemein nicht ganz so einfach, auch wenn alles daran elementar ist.
Kann man den überhaupt LGS mit vier Variablen lösen, wenn man nur zwei Gleichungen hat?
hast du diesen Strich ueber dem Satz mit "Entsprechend(…)" gemacht, weil dieser Vorgang zu einer anderen Loesungsmoeglichkeit fuehrt?