2Pi-periodische Funktion - Fourierreihe?

Kurze Frage... wie interpretiere ich das hier? Für das Intervall [−𝜋,𝜋) gilt die Funktion f(x)=|x|, was eine V-förmige Funktion mit dem Scheitelpunkt bei x = 0 ergibt. Nun soll ich die Funktion für das Intervall [−2𝜋,2𝜋] darstellen, jedoch gilt dort nicht mehr f(x)=|x| da dies ja nur für [−𝜋,𝜋) die Bildungsvorschrift ist. Wie gehe ich da jetzt vor? Bitte keine vollständige Lösung.

Answer 1

[Kalkablagerung]

Wir haben scheinbar genau die selbe Aufgabe (auch Informatik?).

Laut der Bildungsvorschrift ist ja alles zwischen -pi und pi bestimmt. 2pi periodisch bedeutet, dass sich die Funktion alle 2pi wiederholt. Somit erhältst du den Graphen:

$S_nf(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^n (a_k\cos(k \omega x) + b_k \sin(k \omega x))$ mit: $a_k = \frac{2}{T} \int_0^T f(x) \cos(k\omega x)\text{dx}$ $b_k = \frac{2}{T} \int_0^T f(x) \sin(k\omega x)\text{dx}$ So lautet ja die Formel für die Fourier-Reihe.

Du siehst ja, dass das Ganze achsensymmetrisch (also f(x) = f(-x)) ist. Es gilt, dass man daher in der Formel der Fourier-Reihe den Sinus vernachlässigen kann, da dieser ja asymmetrisch ist:

Man erhält für a_k die Formel (einfach die Hälfte von T): $a_k = \frac{4}{T} \int_0^\frac{T}{2} f(x) \cos(k\omega x)\text{dx}$ Und die Periodendauer ist ja gegeben durch 2pi und somit auch Omega mit 1. $a_k = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \cos(kx)\text{dx}$ Da wir T halbiert haben, geht das Intervall des Integrals nur noch von 0 bis pi. Und da es achsensymmetrisch ist, geht alles, was wir in die eine Richtung machen automatisch in die andere.

Jetzt brauchen wir erst einmal a_0, also setzen wir einfach für k=0 ein. $a_0 = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi x \text{dx}$ Das kannst du ja selbst ausrechnen.

Jetzt fragst du dich wahrscheinlich wie es weitergeht. Dann rechnest du das Integral noch aus und fasst ein wenig zusammen und setzt am Ende alles in die Formel für S_n f(x) ein.

Ich hoffe, das war nicht zu viel Spoiler 😅

Bei Fragen, gerne fragen!

Außerdem, falls ich irgendwo einen Fehler gemacht habe, bitte kommentieren!

Woher ich das weiß: Hobby – Ich interessiere mich für Mathematik

Comments

[weqweqweqwe]

Also, wenn es asymmetrisch wäre dürfte ich den Cosinus vernachlässigen?

[Kalkablagerung]

@weqweqweqwe

Also, wenn es punktsymmetrisch wäre, dürftest du Kosinus vernachlässigen. Wenn es asymmetrisch ist, darfst du nichts vernachlässigen

[weqweqweqwe]

Vielen Dank, du hast mir wirklich geholfen, das zu verstehen. Mathe und ich, wir sind noch nicht die besten Freunde :P Bin auch Informatik, HTWD?

[Kalkablagerung]

@weqweqweqwe

Haha, völlig verständlich, das wird alles immer komplexer. Auch HTWD 🤝

Answer 2

[poseidon42]

Beachte, dass für eine T-periodische Funktion gilt:

f(t) = f(t - k*T)

mit beliebiger ganzer Zahl k.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium der Elektrotechnik (Energie, Automatisierung)