Wie berechne ich die mittlere Steigung im Intervall?
Ich hab die Funktion f(x) =x^2 gegeben.
Mein Intervall ist [2;a] für a gilt a>2.
Normalerweise würde ich ja ∆y÷∆x rechnen. Aber wie gehe ich hier bei diesem Intervall vor,wenn a größer als 2 sein muss? Was muss ich dann rechnen? Danke
2 Antworten
Normalerweise würde ich ja ∆y÷∆x rechnen.
Genauso, wie du es geschrieben hast... Rechne Δy/Δx.
Im konkreten Fall ist Δx = a - 2 und Δy = f(a) - f(2) = a² - 2². Für die gesuchte mittlere Steigung erhält man nun...
Das kann man nun noch etwas weiter vereinfachen. Mit Hilfe der dritten binomischen Formel kann man nämlich a² - 2² = (a + 2) ⋅ (a - 2) umformen. Dann kann man mit a - 2 kürzen, sodass nur noch a + 2 übrig bleibt.
Ergebnis: Die gesuchte mittlere Steigung ist a + 2.
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Wie du evtl. auch gerade am Ergebnis „a + 2“ erkannt haben solltest... Du sollst hier keine bestimmte Zahl für a einsetzen. Das Ergebnis hängt am Ende weiterhin vom unbekannten Parameter a ab.
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Aber wie gehe ich hier bei diesem Intervall vor,wenn a größer als 2 sein muss?
Die Bedingung a > 2 ändert nicht wirklich etwas an der Rechnung. (Es sorgt nur dafür, dass hier einiges wohldefiniert ist.)
Dass a > 2 ist, sorgt einerseits einfach dafür, dass dann insbesondere a ungleich 2 ist, sodass a - 2 ungleich 0 ist, sodass man kein Problem mit „Division durch 0“ bei Division durch Δx = a - 2 ist.
Des Weiteren wäre für a < 2 das Intervall [2; a] leer. Denn in [2; a] liegen die Zahlen x, für die einerseits 2 ≤ x ≤ a gilt. Aus der Bedingung 2 ≤ x ≤ a folgt aber insbesondere 2 ≤ a, was im Widerspruch zu a < 2 wäre. Für a < 2 wäre die Bedingung 2 ≤ x ≤ a also nicht erfüllbar, egal welche Zahl x man betrachtet.
Außerdem hilft es auch vielen Schülern, sich dann weniger Gedanken darum zu machen, ob man (f(a) - f(2))/(a - 2) rechnen sollte oder (f(2) - f(a))/(2 - a) rechnen sollte. [Das würde letztendlich aber keinen Unterschied machen. Auch mit (f(2) - f(a))/(2 - a) würde man dann letztendlich auf a + 2 kommen.]
Siehe dir dazu auch meine Bemerkung dazu in meiner Antwort an...
„Wie du evtl. auch gerade am Ergebnis „a + 2“ erkannt haben solltest... Du sollst hier keine bestimmte Zahl für a einsetzen. Das Ergebnis hängt am Ende weiterhin vom unbekannten Parameter a ab.“
Du setzt da gar nichts für a ein. Das a bleibt einfach a.
Du rechnest genau so, wie du "normalerweise" rechnen würdest.
also dx = a-2; dy = a²-x²
Die Einschränkung macht nur DIR (bei der Rechnung) das Leben leichter, da du weißt, dass du den Fall a kleiner 2 nicht beachten musst.
Wenn das aus der Aufgabenstellung nicht anders hervorgeht: keine
a ist dann ein Parameter
Ich hab doch normalerweise 2 zahlen beim Intervall und die setz ich in die Funktion ein um damit ∆y÷∆x zu rechen.Aber was setz ich denn jetzt für a ein?