(-1) hoch unendlich?
4 Antworten
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Du meinst sicherlich den Grenzwert (Limes) von (-1)^x für x → unendlich.
Der Grenzwert existiert nicht. Das divergiert.
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Nein, existiert nicht heißt existiert nicht. Unendlich wird gelegentlich als uneigentlicher Grenzwert bezeichnet, aber selbst dieser uneigentliche Grenzwert ist hier nicht vorhanden, da das Vorzeichen alterniert.
Es lässt sich kein x finden von dem an alle f(x) in einer Epsilonumgebung liegen und für den uneigentlichen Grenzwert müsste es wenigstens eine einseitige Beschränkung ab einem x geben.
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Außerdem hast du mich durcheinander gebracht ;)
wenn x gegen unendlich läuft, schwingt die Funktion zwischen -1 und 1.
Die Aussage von oben muss also sein, dass du zu jeder beliebig klein gewählten Epsilonumgebung kein x findest, ab dem alle f(x) in dieser Umgebung liegen. Ich hoffe, so passt das besser. :)
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Ja, liebe "Vorredner" der Wert existiert nicht, aber die Folge divergiert nicht (divergieren --> auseinanderstreben), wie Suboptimierer schrieb. MagicalGrill hat da eher recht, dass sie nicht konvergiert.
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Vielleicht ist "divergieren" nicht der etymologisch korrekte Begriff, aber fachlich ist er korrekt. Man gebe das in einen beliebigen Online Rechner ein, z. B.
https://www.symbolab.com/solver/limit-calculator/%5Clim\_%7Bx%5Cto%5Cinfty%7D%5Cleft(%5Cleft(-1%5Cright)%5E%7Bx%7D%5Cright)
Hingegen divergiert die Folge {\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}}, da sie sich keiner Zahl annähert, sondern nur zwischen den Werten −1 und 1 alterniert („hin und her springt“).
https://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert\_(Folge)
Und ja, die Werte streben auseinander, nämlich zu -1 und +1.
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Ist nicht definiert, weil die Folge (-1)^n nicht konvergiert.
Wenn man es unbedingt definieren will, würde ich 0 empfehlen.
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@MagicalGrill
0 ist absoluter Quatsch. Je nach dem ob x geradzahlig oder ungeradzahlig ist, springt der Wert zwischen +1 und -1.
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Ja, und genau deswegen hat die oben genannte Folge keinen Grenzwert: Es gibt keinen Wert, dem sich die Folge annähert. Deswegen ist (-1)^unendlich auch nicht definiert.
Wie also komme ich auf 0? Das ist ein klassisches, verwirrendes, irreführendes aber irgendwie plausibel klingendes Argument:
Ich betrachte die formale Reihe
r = -1 + 2 - 2 + 2 - 2 + 2 - 2 + 2 - 2 + ..........
Wenn ich nach dem n-ten Summanden abbrechen würde, wäre das Ergebnis gerade (-1)^n. Daher sollte r = (-1)^unendlich sein. Statt r zu berechnen, kann ich auch s = (r + 1) berechnen und dann später r mithilfe von r = s - 1 ermitteln.
Nun gilt s = 2 - 2 + 2 - 2 + 2 - 2 + .....
Also:
2 - s = 2 - (2 - 2 + 2 - 2 + 2 - 2 + ...). Wenn man die Klammer auflöst, erhält man
2 - s = 2 - 2 + 2 - 2 + 2 - 2 + ... = s.
Aber 2 - s = s bedeutet 2s = 2, also s = 1.
Damit ist r = s - 1 = 0.
Beachte, dass das keine mathematisch saubere Herleitung ist, weil die Reihe r nun einmal nur eine formale Reihe ist, die aber nicht konvergiert.
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![](https://images.gutefrage.net/media/user/MagicalGrill/1548472380616_nmmslarge__260_60_1080_1080_9461c4b490096d30204b9d24434abaa7.png?v=1548472381000)
Ob ich (-1)^n als Potenz oder Summe schreibe, sollte doch keinen Unterschied machen? Die Werte ändern sich ja nicht.
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Wie oft wird diese Frage hier eigentlich noch gestellt?
∞ ist keine Zahl (nichtmal ein Platzhalter für eine Zahl). Deswegen gibt es keine definierte Möglichkeit, ∞ wie eine Zahl zu behandeln.
Da könntest du ebenso gut versuchen durch 0 zu teilen...
Und selbst wenn du nicht die Lösung der Gleichung x=(-1)^∞ sondern den Grenzwert für (-1)^x für x→∞ meinst, auch der existiert nicht, da (-1)^x abwechselnd die Werte 1 (für jedes gerade x) und -1 (für jedes ungerade x) ausspuckt. Jetzt versuch mal definitionsgemäß zu ermitteln, ob ∞ gerade oder ungerade ist...
Im absolut besten Fall könnte man jetzt mit "schrödingers Katze" ankommen und sagen "Der Grenzwert ist sowohl 1 als auch -1.", aber selbst das ergäbe nicht gerade viel Sinn.
das heißt unendlich?