Wäre unendlich hoch 2 ein anderes unendlich als unendlich?
5 Antworten
Nein erstmal nicht, aber es gibt etwas ähnliches: Es gibt abzählbar unendliche Mengen und überabzählbar unendliche Mengen
Das kommt drauf an aus welchem Raum dieses unendlich gebildet wird.
Im Raum der reellen Zahlen gibt es unendlich gar nicht und alle "Unendlich" sind defakto das selbe unerreichbare Unendlich.
In den Hyperrellen Zahlen gibt es zwar unendlich aber auch hier wärs das selbe. Denn 1/x und 1/x² führen für unendliches x auf die selbe Infintisimale Zahl a.
In den Kardinalzahlen gibt es aber unterschiede. Diese ergeben sich aus den Vergleichen von unendlichen Zahlenmengen.
Die Natürlichen Zahlen enthalten unendlich viele Zahlen damit ist ihre Kardinalität unendlich. Die reellen Zahlen enthalten überabzählbar unendlich viele Zahlen. Damit gilt |N|<|R|
Die Kardinalität von N ist also kleiner als die von R obwohl beide unendlich sind. Maggut hat das in seiner Antwort ebenfalls beschrieben wenn auch allgemeiner.
Angenommen du hast einmal den Ausdruck
a und a^2
und lässt a gegen positiv unendlich laufen. Dann kann man sagen, dass der Ausdruck a^2 viel schneller ansteigt.
Unendlich ist keine Zahl, sondern beschreibt einen Vorgang (in dem Beispiel macht man a unendlich oft etwas größer). Daher macht es wenig Sinn "Unendlichkeiten" hinsichtlich ihrer Größe zu vergleichen, wie man es hingegen z.B. bei reellen Zahlen sehr gut machen kann.
Nein, da unendlich schon das maximum ist.
Ich hab einfach einen alten Beitrag von mir Kopiert.
Vorab: Physikalisch ist Unendlich natürlich, wie es der Name sagt, Unendlich.
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Um es genauer zu nehmen, es gibt tatsächlich Mathematische Werte die größer sind als "Unendlich".
Ѡ (kleines Omega) ist die kleinste unendliche Ordinalzahl. Anders gesagt, würde man Unendlich fertig gezählt haben, so hätte man Ѡ erreicht.
Kompliziert wird es nun mit der Rechnung Ѡ+1. Da Ordinalzahlen die Ordnung angeben, nach 1 kommt 2 usw., muss das nicht bedeuten, das Ѡ+1 größer ist als Ѡ. Es kommt lediglich danach. Aus diesem Grund gibt es die Kardinalzahlen. Diese geben an, sagen wir, was mindestens verwendet wurde, um diese Zahl zu erreichen.
Die kleinste Kardinalzahl für eine abzählbar unendliche Menge ist Alpeh mit Index 0 -> א
Jetzt, wo man Mengen und deren Ordnung besser beschreiben kann, so kann man nun auch "weiter" zählen. Das muss man auch. Denn die die Potenzmenge von Aleph 0 ist nun mal mehr als Unendlich.
Die Potenzmenge von der Menge 1,2,3 , also P({1,2,3}) wäre;
P({1,2,3}) = {}, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3} sowie {1,2,3}. Es sind also mehr Element vorhanden als nur bei 1,2,3. Um es genau zu nehmen 8, oder 2³.
Diese Potenzmenge lässt sich nun auf Aleph 0 anwenden. Es wäre also P(Alpeh 0). Also der Potenzmenge von Unendlich. Das Beispiel zuvor hat gezeigt, diese Menge muss folglich ermaßen größer sein. Hier befinden wir uns nun in dem Bereich den deine Tochter erfragt, denn, demnach gibt es Ѡ+Ѡ. All dies lässt sich nach Aleph 0 anstellen. Auch Ѡ*Ѡ*Ѡ*Ѡ ist dann möglich, oder anders gesagt. Unendlich mal Unendlich usw.
Und ja, auch hier gibt es ein Ende, denn, was ist wenn man Unendlich OFT! Unendlich und danach was Ordnet? Richtig, wir haben Ѡ Index 1 erreicht. Anders gesagt, die Menge der Zahlen die Notwendig sind um Ѡ 1 zu erreichen, Aleph 1.
Diese Schreibweise kann man nun, wer hätte es gedacht, unendlich weiter führen. Ѡ 2 sowie Aleph 2, Ѡ 3 sowie Aleph 3, Ѡ 4 sowie Aleph 4 usw. Solange, bis wir Ѡ Index Ѡ sowie Aleph Ѡ erreicht haben. Quasi unendlich viele Unendlichkeiten!! Auch hier endet es noch nicht. Was ist, wenn ich Unendlich viele Unendlichkeiten habe und diese mit zwei multipliziere? Nun, ich hab dann Alpeh Index 2*2. Dieses Spiel geht auch unendlich weiter, bis Aleph Index 2² - > Unendlich viele Unendlichkeiten diese unendlich oft multipliziert.
Jetzt haben wir also "Unendlich" tatsächlich größer gemacht, bis dahin wie wir auch dies unendlich oft größer machten. Auch diese Schritte gehen nun unendlich oft.
Zum besseren Verständnis sollte das Bild nun helfen.
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Gibt es denn nun eine Zahl die so groß ist, dass diese selbst mathematisch niemals erreicht wird? JA!
Hierbei wird gerne θ (klein Theta) verwendet. Eine stark unerreichbare Kardinalzahl, oder auch inaccessible cardinal.
Die physikalische Erreichbarkeit von Ѡ ist unmöglich, denn wir können immer auf eine Ordinalzahl, zum Beispiel 2000, eine Zahl dazu nehmen, also 2001. Genau so verhält sich die inaccessible cardinal in der Mathematik. Egal wie oft wir Ѡ mit Ѡ multiplizieren, potenzieren, addieren, wir erreichen niemals θ. Wir haben also den selben "Sprung".
Aber was wäre Mathematik ohne noch größer zu werden?
Es gibt Theorien mit Axiomen, so komplex, das selbst 0=1 möglich sein könnte. So gewaltig, so komplex, dass man vermutet, die sogenannte Kontinuumshypothese einst damit eventuell lösen zu können.
Aber wir driften damit so weit in die Mathematik, so dass ich hier auch enden möchte.
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