Wie viel ist unendlich hoch unendlich?
Hallo liebe Community,
Fakt ist, dass "unendlich" den gleichen "Wert" wie unendlich^2, unendlich^5, unendlich^289, .... besitzt. Ist dies (theoretisch) auch bei unendlich^unendlich der Fall, oder gibt es hier wiedereinmal eine Sonderregel? Google hilft da nicht :)
LG und vielen Dank Imperium99
8 Antworten
Unendlich ist keine Zahl! Das versteht hier scheinbar niemand. Es macht also kein Sinn zu versuchen mit Unendlich zu rechnen, wie mit jeder anderen Zahl. Unendlich ist nur ein "Konzept". Zahlen, Reihen, Funktionen können gegen Unendlich gehen, aber erreichen werden sie es schließlich nie.
Es ist also kein Fakt, dass unendlich hoch 2 das selbe ist wie unendlich hoch 100. Mathematisch sind diese Dinge nicht definiert. Genauso, wie das Teilen durch 0 nicht zu irgendetwas führt, sondern mathematisch auch nicht definiert ist und nicht definiert werden kann.
Das macht natürlich Sinn. Wenn wir uns jetzt einmal von der Mathematik entfernen und uns an logisches Nachdenken klammern, ist eine unendliche Summe +/- x immer noch unendlich, weil dieser geringe Teil x ja keine Auswirkungen auf die Unendlichkeit hat.
Wie sieht es denn mit dem Beispiel 0 aus? 0=0+0=0-0 etc. Warum kann es dann nicht auch bei der Unendlichkeit so sein, sie ist doch das genaue Gegenteil einer 0 (Endlos viel <---> gar nichts). (WEG von der Mathematik, nur logisches Nachdenken). Vielleicht irre ich mich ja auch und mache einen bedeutenden Fehler, aber mir scheint das nach wie vor für einleuchtend.
Zusatzfrage: Was genau ist 0x0/0²/0³ denn nun als konkrete Zahl?
Deine Zahl ist in der Mathematik nicht definiert. Was du da von dir gibst (ähnlich wie diese Webseite) ist keine fundierte Mathematik, sonder Philosophie (beide Gebiete haben oft einen Überlapp).
Ein anderes Beispiel sind Vektoren: Genauso, wie du teilen durch 0 in der Mathematik nicht definiert ist, ist das Teilen durch einen Vektor genauso wenig definiert. Es gibt viele solcher Beispiele: Interpretation und logisches Denken sind eine Sache, aber die Mathematik lebt von Definitionen und Dinge die nicht definiert sind, sind nicht Teil der Mathematik (sondern zB der Philosophie)
Mit Mathematik hat das dann nicht mehr viel zu tun, das wäre dann Philosophie
Kann eine gewisse Mischung aus Mathematik und Philosophie nicht hilfreich sein? Wenn wir irgendwann von einer unendlichen Entfernung hören SOLLTEN, müssten wir dann nicht die Mathematik in gewissen Teilen neu definieren, was durch die Philosophie vorher schon klar gewesen ist/sein könnte?
Die Mischung aus Philosophie und Mathematik gibt es schon und nennt sich Quantenmechanik ;-)
Wenn dich das mit der Unendlichkeit schon erstaunt, dann erzähle ich dir jetzt einmal was Spannendes: In der Physik (genauer in der String-Theorie) trifft man häufig auf Ausdrücke, die unendliche Summen beinhalten. Und um dort auf passable (mit der Natur in Einklang zu bringende) Ergebnisse zu kommen, muss die Summe
1+1/2+1/3+1/4+ usw. am Ende den Wert - 1/12 haben! Genau! Die Summe von unendlich vielen positiven Zahlen gibt am Ende einen negativen Wert ;-)
Guck dir den Channel mal an: https://www.youtube.com/user/numberphile
Der hat oft interessante Sichtweisen auf die Mathematik.
Der entscheidende Unterschied ist:
Die 0 ist ein wohldefiniertes Element der jeweiligen Zahlenmenge(N Z R oder C) und darum sind Rechenoperationen mit der 0 auch ausdrücklich erlaubt. (Bis auf die eine Ausnahme bei der Division).
0+0 0-0 0x0 0² 0³ usw. sind zulässige Anwendungen der Operatoren + - * / ^ und liefern ein eindeutig bestimmtes Ergebnis (in allen Fällen die 0 selber wieder), das ebenfalls Element eines Zahlenkörpers ist.
Und noch was: Mathematik hat verdammt viel mit Philosophie zu tun - auch wenn es scheint, daß beide Fachgebiete völlig verschiedene Antworten auf ein und dieselbe Frage haben ;-)
Gut, dann stimmte meine Recherche ja, was das Thema 0 angeht. Aber: Wenn man 0*0 rechnet, wie kann dann Null rauskommen? Wenn ich einen Wert habe (0) und ihn NICHT nehme (*0) wie kann er dann rauskommen? Beispiel: Gegebener Wert (2) wird NICHT genommen (*0). Ergebnis=0. Verstehst du/Versteht ihr meine Frage dahinter? Gibt es da eine logische Erklärung für?
@Myjacy Vielen Dank, der Channel scheint ganz interessant zu sein. Bin erst seit heute dabei, diesen Zusammenhang zwischen Mathematik und Philosophie zu untersuchen, weil sowas in der Schule eben nie unterrichtet wird... Deswegen begeistert mich auch das Themengebiet der Quantenmechanik gerade besonders.
Eine Frage noch: Die Bezeichnungen N Z und R haben mir etwas gesagt, C jedoch nicht. Habs natürlich sofort gegooglet, das Ergebnis lässt mich jedoch stutzen:
"Zu den Reellen Zahlen kommt hier erst nur die "imaginäre Einheit" i , mit i=−Wurzel aus -1"
1. Frage: Wie kann man eine Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen, bzw. was soll man sich darunter vorstellen unter diesem i? (Kann ja keinen Zahlenwert haben, oder etwa doch?)
2. Frage: Wozu dieses i?
"Durch Multiplikation von i mit Reellen Zahlen erhält man alle imaginären Zahlen ( 2i,−i,πi,12i ). Die Summe von imaginären und rellen Zahlen ergeben dann die Komplexen Zahlen ( 1+i,2−3i,2,−1−i )."
Wozu werden diese komplexen Zahlen benötigt?
Das C steht in der Tat für die Menge der komplexen Zahlen. Mathematiker brauchen diese Zahlen um bestimmte "Klassen" von Gleichungen lösen zu können. Du siehst die "Notwendigkeit" dieser Zahlen an folgendem Beispiel:
Die Mathematik beginnt mit den natürlichen Zahlen N: 0,1,2,3,4,...Aber es gibt Gleichungen deren Lösung nicht in der Menge von N enthalten ist. Ein Beispiel wäre 2+x=1. Daher hat man die N um negative Zahlen erweitert... man landet also bei den ganzen Zahlen Z: ...-2,-1,0,1,2,...Mit denen lassen sich aber nicht Gleichungen wie 2x=3 lösen. Man muss diese Zahlen also erweitern und landet bei den rationalen Zahlen Q (alle Zahlen die sich als Bruch von ganzen Zahlen darstellen lassen).Damit kann man aber bspw. nicht die Gleichung x^2 = 2 lösen. Dafür braucht man die Menge der reellen Zahlen (zB Wurzel(2) oder Pi, ....).Aber auch in dieser Menge findest du keine Zahl, die dir die Gleichung x^2=-1 lösen kann (dafür müsste man die Wurzel aus -1 ziehen). Um diese Gleichung lösen zu können wird die imaginäre Einheit i eingeführt, die die Eigenschaft besitzt, dass i^2=-1 ergibt. Damit kann man nun auch Gleichungen von diesem Typen lösen.
Deswegen schrieb ich extra "theoretisch" dazu. Festgelegt ist (in der Theorie), dass unendlich^x=unendlich ergibt. Jetzt war nur meine Frage, ob unendlich^unendlich eine Ausnahme darstellt oder die Regelung auch hierfür zählt.
Schau mal hier vorbei:
http://www.maeckes.nl/Oneindig%20tot%20de%20macht%20nul%201%20DE.html
Hier wird gesagt, dass unendlich²=unendlich³=unendlich ist. Hast du eine Widerlegung dazu?
Nein, es ist auch nicht theoretisch so. Und Festgelegt ist unendlich^x=unendlich nicht! Vielleicht hat euch euer Lehrer etwas anderes erzählt (um euch die Unendlichkeit etwas näher zu bringen), aber ihr könnt mit unendlich nicht rechnen, als wäre es eine Zahl.
Mathematisch korrekt könnt ihr euch nur Zahlen angucken, die im "Limes gegen unendlich laufen". Du musst dir bei deinem Problem also anschauen wie sich x^2 zu x^100 verhält, wenn du x immer größer werden lässt. Beide Ausdrücke werden dann gegen Unendlich laufen, aber wegen der unterschiedlichen Potenzen sind die "Geschwindigkeiten" mit denen gegen Unendlich tendiert wird unterschiedlich.
PS: Dein Link macht es auch nicht besser. Ich weiß nicht wer dahinter steckt, aber die Herangehensweise ist auch dort falsch. Dort wird am Anfang auch behauptet Unendlich sei keine Zahl und trotzdem wird weiter unten so gerechnet, als wäre sie eine.. Im Internet gibt es viele Pseudotheorien bzgl. Unendlichkeit, Teilen durch 0, etc...
Diese Annahme hat nichts mit meinem Mathelehrer zu tun, ich schaue mir dieses Themengebiet rein freiwillig an. (Gymnasiast, 9. Klasse). Habe also noch nicht viel Erfahrung in diesem Themengebiet und bin dankbar über jede Hilfe.
Ich habe gelesen, dass unendlich+(un)endlich=unendlich sind. (n+n(-1)=2n-1). Da n jedoch immer unendlich ist (egal ob +x oder -x) hat n den gleichen Wert wir 2n-1, oder nicht? Und wenn das stimmt muss n x n (n²) ja auch gleich n sein, also wieder unendlich. Theoretisch könnte man diese "Rechnung" doch bis ins unendliche weiterführen, oder mache ich irgendwo einen entscheidenden Fehler?
PS: Mir ist wohl bewusst, dass unendlich keinen definierten Wert hat, aber theoretische Überlegungen kann man doch trotzdem anstellen :) Deshalb scheint mir diese Überlegung durchaus logisch.
Zum Thema "durch 0 rechnen" habe ich mich auch informiert und bin mit dem Ergebnis "nicht definiert" vollkommen zufrieden, da es ja mehrere theoretische Antworten gibt (keine genaue, nur ungefähre). Aber wie schon gesagt, es scheint mir beides vollkommen logisch.
Ist ja eigentlich so ähnlich wie bei der 0. 0=0³=0+0=0-0.....
Wie bereits genannt, ist unendlich keine Zahl mit der man rechnen kann, sondern eher ein Konstrukt mit dem man sehr große Zahlenwerte etwas verständlicher machen will . Es gibt ja auch keine feste Grenze, aber der man von "Unendlichkeit" spricht. Mathematisch gesehen ist es halt schöner, zu sagen "im unendlichen Bereich macht die Funktion bla bla" statt "bei 29858484884 macht die Funktion bla bla"
Deswegen schrieb ich extra "theoretisch" dazu.
Mathe ist von Hause aus Theorie. Davon ab: "Wenn es Vampire gäbe, würden die dann echt keinen Knoblauch vertragen - rein theoretisch?" - findest du das sinnvoll?
"Unendlich" ist schlicht und ergreifend keine Zahl, darum ist schon unendlich^0, unendlich^1, unendlich^2, ... schlicht nicht definert.
Und WEIL das nicht definert ist, kann man einigen dieser Ausdrücke eine Sonderbedeutung geben, nämlich als Kurzschreibweise für bestimmte Grenzwerte. Ich kann dann zB definieren:
unendlich^2 := lim (n->unendlich) n^2
Das ist nicht, nicht, nicht, nicht und nochmals NICHT so zu verstehen, als ob man "wirklich" unendlich^2 "rechnen" könnte. Sondern eben weil das nicht geht, kann die an sich undefinierte Schreibweise "unendlich^2" etc für was anderes verwendet werden. - Sollte man nur machen, wenn man es verstanden hat.
Das ist eine sehr gute Frage (deswegen passt sie auch zu dieser seite ;-))
Die Antwort ist: Es gibt tatsächlich mehrere Unendlichkeiten. Dazu muss man zunächst überlegen, was Zahlen im Allgemeinen sind. Man kann sie als Kardinalzahlen auffassen, dass heißt als Anzahl von Elementen in einer Menge. Wenn ich eine Obstschale mit fünf Äpfeln habe, dann bilden die Äpfel eine Menge und die Anzahl ihrer Elemente ist fünf. Nun gibt es Mengen, wie die Menge aller natürlichen Zahlen, die unendlich groß sind, so dass man unendlich als den Wert der Anzahl der Elemente dieser Mengen ansehen kann. Dann stellt sich die Frage, ob alle Mengen mit unendlich vielen Elementen gleich viele Elemente haben, ob also alle Unendlichkeiten gleich groß sind. Formal kann man das so ausdrücken: Kann man zu je zwei unendlichen Mengen eine Zuordnung finden, die jedem Element aus der einen Menge eindeutig ein Element aus der anderen Menge zuordnet und umgekehrt? Ein Beispiel: Ich erwähnte bereits die unendliche Menge der natürlichen Zahl, eine weitere unendliche Menge ist die der ganzen Zahlen, also die der natürlichen Zahlen und der negativen ganzen Zahlen. Auf den ersten Blick würde man sagen, sie enthält doppelt so viele Elemente wie die Menge der natürlichen Zahlen, weil sie zu jeder natürlichen Zahl auch die entsprechende negative Zahl enthält, allerdings kann man wie oben erwähnt eine Zuordnung definieren, die die Mengen gleich groß erscheinen lässt, nämlich 0->0, 1->1, 2->-1, 3->2, 4->-2, 5->3, 6->-3, 7->4, usw. Das kann man dann salopp so ausdrücken, dass zweimal unendlich gleich unendlich ist.
Nun kann man zu jeder Menge eine weitere Menge konstruieren und zwar die Menge aller Teilmenge. Diese wird auch Potenzmenge genannt. Zum Beispiel ist die Potenzmenge zu {0,1,2} die Menge {{},{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}}. Allgemein verhält es sich so, dass wenn eine Menge n Elemente hat, dann hat ihre Potenzmenge 2^n Elemente. Man kann aber beweisen, dass man zu einer unendlichen Menge und ihrer Potenzmenge keine wie oben erwähnte Zuordnung findet. Das heißt, die Potenzmenge hat wesentlich mehr Elemente als die ursprüngliche Menge, oder wiederum salopp ausgedrückt: 2^unendlich ist wesentlich größer als unendlich.
Vlt weitet sich ja Unendlich^Unendlich schneller aus , als Unendlich^200..
Unendlich ist ja schon unendlich also würde es am Ergebnis nichts ändern , deshalb würde ich sagen das sich wenn schon die Schnelligkeit erhöht ?!
Lustige Frage ^^
Wieso machst du mir jetzt ein Kompliment wegen "Humor"? Das war eine ernst gemeinte Frage!
Fand die Frage nicht an sich lustig , eher die Feststellung das ich so ähnliche Gedankengänge hatte . Tut mir leid wenn es so rüber gekommen ist, dass ich mich über Dich lustig gemacht habe.
Nein, alles gut. Ich kann mit sowas umgehen ;) Ich mag zwar diese "eigenen Überlegungen" aber Fakten helfen mir deutlich besser. Trd danke ;)
Es bleibt immer unendlich.. Kein Anfang und kein Ende
Ist dies (theoretisch) auch bei unendlich^unendlich der Fall
Ja, aber um das zu zeigen, muss erst einmal klar sein, dass du nicht einfach so ∞^∞ rechnen kannst. Des Weiteren ist es streng nach AnaIysis auch nicht einmal möglich einfach so irgendeine Zahl hoch x zu nehmen (siehe Definition in nächster Zeile). Was du jedoch rechnen kannst, ist folgendes:
a^a := e^(a*ln(a)) (Definition) mit a > 0 (ohne Einschränkung, weil wir ja eh gegen +∞ laufen)
Und davon wollen wir jetzt die Limesbetrachtung gegen ∞ machen:
lim(a->∞) a^a
= lim(a->∞) e^(a*ln(a))
Der Limes teilt sich wunderbar auf, da sowohl Exponentialfunktion als auch ln (für a>0) stetig sind. Somit ergibt sich im Exponenten "∞*∞"=∞, da beide Funktionen gegen ∞ gehen. Die Exponentialfunktion selbst geht für +∞ ebenfalls gegen ∞. Also
= ∞
Um Dir das, was Myjacy versucht mitzuteilen, mal auf halbwegs mathematische Füße zu stellen, hier das folgende:
Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und die Potenzbildung sind mathematische Operatoren, die jeweils zwei Elemente eines der mathematischen Zahlenkörper miteinander verknüpft und eindeutig einem dritten Element als Ergebnis zuordnet.
Die Betonung liegt auf: Es müssen Elemente der Zahlenkörper sein - also N oder Z oder R oder C.
Unendlich ist kein Element einer dieser Mengen.
Deswegen ist ein Plus Minus Mal Durch Hoch mit Unendlich mathematisch nicht zulässig.
Webseitenautoren, die sowas schreiben wie Unendlich + Unendlich = Irgendwas haben von mathematischer Korrektheit absolut keinen Schimmer.