Wie viel ist unendlich hoch unendlich?

8 Antworten

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Myjacy

Unendlich ist keine Zahl! Das versteht hier scheinbar niemand. Es macht also kein Sinn zu versuchen mit Unendlich zu rechnen, wie mit jeder anderen Zahl. Unendlich ist nur ein "Konzept". Zahlen, Reihen, Funktionen können gegen Unendlich gehen, aber erreichen werden sie es schließlich nie.


Es ist also kein Fakt, dass unendlich hoch 2 das selbe ist wie unendlich hoch 100. Mathematisch sind diese Dinge nicht definiert. Genauso, wie das Teilen durch 0 nicht zu irgendetwas führt, sondern mathematisch auch nicht definiert ist und nicht definiert werden kann.
pianostein

Das ist eine sehr gute Frage (deswegen passt sie auch zu dieser seite ;-))

Die Antwort ist: Es gibt tatsächlich mehrere Unendlichkeiten. Dazu muss man zunächst überlegen, was Zahlen im Allgemeinen sind. Man kann sie als Kardinalzahlen auffassen, dass heißt als Anzahl von Elementen in einer Menge. Wenn ich eine Obstschale mit fünf Äpfeln habe, dann bilden die Äpfel eine Menge und die Anzahl ihrer Elemente ist fünf. Nun gibt es Mengen, wie die Menge aller natürlichen Zahlen, die unendlich groß sind, so dass man unendlich als den Wert der Anzahl der Elemente dieser Mengen ansehen kann. Dann stellt sich die Frage, ob alle Mengen mit unendlich vielen Elementen gleich viele Elemente haben, ob also alle Unendlichkeiten gleich groß sind. Formal kann man das so ausdrücken: Kann man zu je zwei unendlichen Mengen eine Zuordnung finden, die jedem Element aus der einen Menge eindeutig ein Element aus der anderen Menge zuordnet und umgekehrt? Ein Beispiel: Ich erwähnte bereits die unendliche Menge der natürlichen Zahl, eine weitere unendliche Menge ist die der ganzen Zahlen, also die der natürlichen Zahlen und der negativen ganzen Zahlen. Auf den ersten Blick würde man sagen, sie enthält doppelt so viele Elemente wie die Menge der natürlichen Zahlen, weil sie zu jeder natürlichen Zahl auch die entsprechende negative Zahl enthält, allerdings kann man wie oben erwähnt eine Zuordnung definieren, die die Mengen gleich groß erscheinen lässt, nämlich 0->0, 1->1, 2->-1, 3->2, 4->-2, 5->3, 6->-3, 7->4, usw. Das kann man dann salopp so ausdrücken, dass zweimal unendlich gleich unendlich ist.

Nun kann man zu jeder Menge eine weitere Menge konstruieren und zwar die Menge aller Teilmenge. Diese wird auch Potenzmenge genannt. Zum Beispiel ist die Potenzmenge zu {0,1,2} die Menge {{},{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}}. Allgemein verhält es sich so, dass wenn eine Menge n Elemente hat, dann hat ihre Potenzmenge 2^n Elemente. Man kann aber beweisen, dass man zu einer unendlichen Menge und ihrer Potenzmenge keine wie oben erwähnte Zuordnung findet. Das heißt, die Potenzmenge hat wesentlich mehr Elemente als die ursprüngliche Menge, oder wiederum salopp ausgedrückt: 2^unendlich ist wesentlich größer als unendlich.
Cocapitalismus

Vlt weitet sich ja Unendlich^Unendlich schneller aus , als Unendlich^200..

Unendlich ist ja schon unendlich also würde es am Ergebnis nichts ändern , deshalb würde ich sagen das sich wenn schon die Schnelligkeit erhöht ?!

Lustige Frage ^^
JungesMann1973

Es bleibt immer unendlich.. Kein Anfang und kein Ende 
Drainage

Ist dies (theoretisch) auch bei unendlich^unendlich der Fall

Ja, aber um das zu zeigen, muss erst einmal klar sein, dass du nicht einfach so ∞^∞ rechnen kannst. Des Weiteren ist es streng nach AnaIysis auch nicht einmal möglich einfach so irgendeine Zahl hoch x zu nehmen (siehe Definition in nächster Zeile). Was du jedoch rechnen kannst, ist folgendes:

a^a := e^(a*ln(a)) (Definition) mit a > 0 (ohne Einschränkung, weil wir ja eh gegen +∞ laufen)

Und davon wollen wir jetzt die Limesbetrachtung gegen ∞ machen:

lim(a->∞) a^a

= lim(a->∞) e^(a*ln(a))

Der Limes teilt sich wunderbar auf, da sowohl Exponentialfunktion als auch ln (für a>0) stetig sind. Somit ergibt sich im Exponenten "∞*∞"=∞, da beide Funktionen gegen ∞ gehen. Die Exponentialfunktion selbst geht für +∞ ebenfalls gegen ∞. Also

= ∞