Wie funktioniert das rechnen mit unendlich?
Ich brauch eure Hilfe. Ich habe morgen einen Mathe test in dem es um Grenzwert Berechnung geht und ich versteh das rechnen mit unendlich nicht. Zum Beispiel was komm raus wenn ich unendlich/unendlich rechne oder 1/unendlich? Kann mir jemand sagen ob es dazu Rechnen regeln gibt und wenn ja welche das wären oder wo ich sie finde?
Danke für die Antworten im voraus:D
4 Antworten
Mit der Unendlichkeit ansich kann man schwer bis gar nicht rechnen. Man muss außerdem zwischen verschiedenen Arten von Unendlichkeiten unterschieden. Zum Beispiel gibt es abzählbare Unendlichkeiten und überabzehlbare Unendlichkeiten.
Unendlich/unendlich kann jede beliebige, positive Zahl sein – eindeutig festzumachen ist das nicht, da jede Unendlichkeit um x größer oder kleiner als die andere sein kann. 1/unendlich geht gegen 0 wird 0 aber nie erreichen (~0 zu schreiben, ist da nie falsch).
Man kann mit der Unendlichkeit aber insoweit rechnen, als das man damit Beweise führt, aber das ist ein anderes Kapitel.
Wenn Brüche eine Variable (z.B. x) enthalten, die gegen unendlich geht, dann genügt es, im Zähler und Nenner jeweils nur die höchste Potenz von x zu beachten. So hat (x²+3):(x-1) den selben Grenzwert wie x²:x = x. Dieser Term geht also gegen Unendlich. Dagegen haben (x³+15x):(2x-3x³) den selben Grenzwert wie x³:(-3x³) = -1/3.
Was man auf jeden Fall nicht machen sollte, ist einfach unendlich einzusetzen. Das Thema heißt ja nicht umsonst Grenzwertberechnung. Denn genau das ist es was man machen muss. Nehmen wir als Beispiel die Folge a_n = 1/n, mit n aus |N. (Also a_1 = 1/1 = 1, a_2 = 1/2, ... Der Grenzwert dieser Folge ist 0, aber es gibt kein einziges Element für das gilt a_k = 0. Die genannte Folge ist sehr wichtig, weil sie bei Grenzwertbetrachtungen oft herangezogen werden kann, um den Grenzwert zu finden. Wie zeige ich aber, dass 0 hier tatsächlich der Grenzwert ist? Nun das ist so, weil sich für jede noch so kleine Zahl ε ein n finden lässt, so dass 1/n < ε ist. Es ist nämlich nur ein n > 1/ε zu wählen.
Damit kann man jetzt z.B. zeigen, dass (10^8+n)/n den Grenzwert 1 hat. Denn (10^8+n)/n = 10^8/n + n/n = 10^8/n + 1 und der erste Term ist eine Nullfolge, wie oben, also ist der Grenzwert 0+1 = 1 (Das wäre ein Fall von (Achtung, verbotene Schreibweise!) unendlich/unendlich = 1. Aber wenn du das n im Zähler durch ein n^2 ersetzt hast du plötzlich unendlich/unendlich = unendlich.)
Ein Grenzwert existiert immer dann, wenn eine Folge (oder Reihe oder Funktion...) beschränkt und monoton ist. ( a_n = 1/n ist nach unten beschränkt, weil a_n > 0 für alle n, und monoton fallend, weil a_(n+1) < a_n für alle n.)
Geb doch einfach mal im Internet oder bei YouTube ein mit unendlichen zahlen rechnen oder so bestimmt wirst du was finden ;) hoffe ich konnte helfen :)