Guten Tag!
Sei A=(a,b] das halboffene reelle Intervall mit a<b, in welchem das a aber nicht das b enthalten ist. Jetzt frage ich mich, ob dieses Intervall als offene oder abgeschlossene Teilmenge der Reellen Zahlen eingestuft werden kann. Für abgeschlossen habe ich eine Begründung und für offen auch. Nur bei offen bin ich mir nicht ganz sicher ob das so hin haut, wie ich mir das denke.
Also. Zunächst sei Br(x) eine offene Umgebung um x mit dem Radius r>0. Dann ist eine Teilmenge V eines Metrischen Raumes X offen, wenn für alle x0 aus X gilt, dass ein r existiert, sodass Br(x0) Teilmenge von V ist. Dies ist hier ja offensichtlich nicht der Fall. Wenn ich nun b=x0 wähle, ist für jedes r>0 die Umgebung Br(b) nicht Teilmenge von A=(0,1]. Somit müsste A ja abgeschlossen sein, denn wenn sie nicht offen ist muss sie ja abgeschlossen sein. ABER: In meinem Skript steht als Definition:
- Eine Teilmenge V von X heißt offen, wenn [...] gilt.
- Eine Teilmenge W von X heißt abgeschlossen, wenn X\W offen ist (X\W ist das Komplement von W)
Wähle ich nun als unseren Metrischen raum das reelle Intervall B=[a-1,b] ist A Teilmenge davon. Nun folgende Argumentation:
B\A=[a-1,a] ist offensichtlich abgeschlossen. Daraus folgt laut des zweiten Teils der Definition, dass A offen ist.
Ich habe gelernt, dass die leere Menge und R selber offen und abgeschlossen zugleich sind, jedoch nicht, dass gleiches für Halboffene Intervalle gilt.
Aufklärungsbedarf! Ich würde mich über eine kurze Antwort auf die Frage im Titel und eine kurze Begründung freuen! Hinweise auf Fehler in meiner Argumentation würden ich auch begrüßen
Danke und LG
Max Stuthmann
