zur welcher Zahlenmenge gehört Wurzel ziehen?
gehört radiziern überhaupt zu einer Zahlenmenge? Kann mir das bitte jemand dazu erklären?
7 Antworten
Wurzelziehen ist keine Zahlenmenge, sondern eine Rechenart. Aber es können nur positive Zahlen unter einer Wurzel stehen, falls du das meintest
Echt? O.O ich kenn nur, dass das Minuszeichen vor der Wurzel steht...
Hey :)
Es kommt glaub ich drauf an mit einer Wurzel. Zum Beipsiel die Wurzel von 4 ist 2, ist somit also eine natürliche Zahl, Ganze zahl und weiter. Aber die Wurzel aus -1 ist gleich i und ist somit also eine komplexe Zahl. Es kommt ja immer drauf an was in der Wurzel steht. Aber an sich ist Wurzel keine Zahlenmenge, sondern das jeweilige Ergebnis. Aber bin mir nicht sicher ob du sowas meinst :/
LG René :)
Ich glaube du meinst, das Ergebnis. Zum Beispiel √2 ist irrational. Und gehört zur Menge der Reelen zahlen. Aber Nicht jede Wurzel ist irrational! √9 ist zum Beispiel 3. 3 ist zwar eine Reele Zahl (jede "normale" Zahl ist reel) Aber 3 ist nicht irrational (weil sie nicht unendlich-unperiodisch ist).
Die Wurzel aus Negativen Zahlen ist NICHT Reel! Also √-5 ist in der Menge der reelen Zahlen NICHT definiert (geht also nicht).
Es gibt dann noch die Menge der komplexen Zahlen, in der sind ALLE Zahlen definiert!
Also auch √-5. Diese lernt man aber nur im Studium und sind für die Schule und den normalen gebrauch unnötig
Die Quadratwurzel einer rationalen Zahl ist eine algebraische Zahl. Das kann eine positive ganze Zahl sein wie √4 = 2, eine negative ganze Zahl wie -√4 = -2, eine gebrochene Zahl wie 1/2 = √(1/4), eine irrationale Zahl wie √2 oder eine imaginäre Zahl wie √(-1).
Algebraische Zahlen sind Nullstellen von Polynomen mit rationalen Koeffizienten. Zum Beispiel ist 1(x^2) + 1x + (-2) ein Polynom 2-ten Grades (weil x^2 darin die höchste Potenz von x ist) mit den Koeffizienten 1, 1 und (-2). Man kann dieses Polynom kürzer schreiben in der der Form x^2 - 2. Wenn z eine Nullstelle dieses Polynoms ist, muss gelten z^2 - 2 = 0, also z^2 = 2 und das heißt z = +√2 oder z = -√2. Probe: (+√2)^2 = 2 = (-√2)^2. Die Zahlen +√2 und -√2 sind also die Nullstellen des Polynoms x^2 - 2 und daher algebraisch. Algebraische Zahlen können also ganz, gebrochen rational, irrational oder komplex (imaginär gemischt mit reell) sein.
Auch die Nullstellen von Polynomen 3-ten und 4-ten Grades lassen sich durch Wurzelziehen bestimmen, aber das geht nicht mehr bei Polynomen ab dem 5-ten Grad, also z. B. für 2x^5 + 3x^4 - 6*x^3 + x -7.
Nichtalgebraische Zahlen nennt man transzendent. Dazu gehört z. B. die Kreiszahl Pi. Die Wurzel einer transzendenten Zahl ist wieder transzendent.
Das Wort "Zahlenmenge" passt hier nicht her!
Es gibt eine math. Funktion mit dem Namen "Wurzel von x" = sqrt(x)
Funktionen haben ein Argument (Eingang, Übergabeparameter oder Input) und ein Funktionswert (Ausgang, Rückgabewert oder Output).
Einige bauen gern "Schubfächer" oder benutzen Fremdwörter wie Radizieren, aber mathematisch betrachtet ist es ein Spezialfall des Potenzierens:
sqrt(x) = x^(1/2) = pow(x,0.5)
Die Funktion "x hoch y" = x^y kann für jeden Zahlenbereich angewendet werden:
reelle Zahlen, komplexe Zahlen , transzendenten Zahlen...
(nur einige Unterstufenlehrer bauen gern Schubfächer und erlauben nur positive Z.)
Wenn man mehr als die üblichen 15 Stellen des Programmier-Datentyps Double nutzt, und jedes beliebige Argument zulassen möchte, gibt es 3 grobe Algorithmen zur Berechnung von x^y :
a) selbstkonvergierende Iteration wie Heron-Verfahren
b) Exponentialfunktion z.B. per Reihenentwicklung, denn:
x^y = exp(log(x) * y) = e^(log(x) * y)
c) hypergeometrische Funktionen:
pow(x,y)=x^y=hyg2F1(-y,1/1000,1/1000,1-x)
So gesehen ist das Potenzieren auch nur ein Spezialfall der hypergeometrischen Funktionen.
Statt mehr Schubfächer aufzubauen und beim plumpen "Auswendiglernen" (alles nur Spezialfallbetrachtungen) stehenzubleiben, betrachtet der Umkehrfunktionen Rechner
http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php
alles aus Sicht universeller Gesetze: möglichst geringe Einschränkung der Argumente (fast überall komplexe Zahlen erlaubt),
Verbindung zu den hypergeometrischen Funktionen,
mindestens 31 Nachkommastellen, extrem große Zahlen wie
999999999999999999999^9999999999999999999999 ...
Merke: die Wurzel aus einer Primzahl ist immer eine irrationale Zahl!
Die Wurzel aus einer Quadratzahl ist eine ganze Zahl.
Nicht ganz richtig: bei den komplexen Zahlen dürfen es auch negative sein(Wurzel aus -1=i(i steht für imaginär))