Zeitdilatation Formel umstellen nach v?
Wie stellt man diese Formel nach v um
k= √1- v hoch2 geteilt durch c hoch2
v und c bilden einen Bruch, weiß nicht wie man das hier mathematisch schreiben kann also tut mir leid für diese Darstellung
1 Antwort
Hallo emilyhansen489,
was Du meinst, ist der LORENTZ- Faktor
(1.1) γ := 1⁄√{1 − v²⁄c²},
wobei v die 1d- Geschwindigkeit *) eines Körpers B' relativ zu einem Bezugskörper B ist (das können z.B. Raumfahrzeuge sein).
Um (1.1) umzustellen, bildet man einfach auf beiden Seiten den Kehrwert und quadriert aus, dann steht da
(1.2) 1⁄γ² = 1 − v²⁄c².
Jetzt kann man beide mit −1 mzltiplizieren, dann auf beiden Seiten 1 addieren und anschließend mit c² multiplizieren:
(1.3) v² = c²∙(1 − 1⁄γ²)
Das liefert natürlich nur Info über das Tempo*)
(1.4) |v| = c∙√{1 − 1⁄γ²}.
Zusammenhang mit der Energie1⁄γ ist auch das Verhältnis zwischen der Ruheenergie E₀ = mc² von B' und seiner Gesamtenergie E = E₀ + Eₖ, wobei Eₖ seine kinetische Energie ist, und so ist
(2) |v| = c∙√{1 − (E₀⁄E)²}.
Ein Körper oder Teilchen mit Masse kann also nur beliebig nahe an c herankommen, indem man ihm ein Vielfaches seiner Ruheenergie als kinetische Energie zuführt.
Mit genau c bewegt sich nur ein Teilchen mit Masse 0, also eines, das gleichsam nur seine eigene Bewegung ist. Ein Photon zum Beispiel.
Zusammenhang mit der "Zeitdilatation"Ich schreibe das Wort in Anführungszeichen, weil es irreführend ist. Es bezeichnet eigentlich einen Projektionseffekt, den Unterschied zwischen der Eigenzeit Δτ und Koordinatenzeit, z.B. Δt bzw. Δt'. Für einen Vorgang an Bord von B' ist Δt' = Δτ, und Δt = γ∙Δτ. Wenn wir die Frage stellen "wie schnell muss B' relativ zu B sein, damit die Reise zwischen zwei Stationen laut Borduhr Δτ und laut Stations-Uhr Δt dauert?", ist die Antwort
(3) |v| = c∙√{1 − (Δτ⁄Δt)²}.
Die Eigenzeit ...... ist ein Abstand zwischen zwei Ereignissen E₁ und E₂, den eine lokale Uhr Ώ messen würde, in deren Nähe beide stattfinden, ähnlich wie der Abstand Δs zwischen zwei Punkten P₁ und P₂ in einer Ebene.
Er ist eine absolute Größe, d.h., Jeder, der E₁ und E₂ beobachten und Ώ ablesen kann, wird darin übereinstimmen, dass E₁ und die Anzeige τ₁ auf Ώ einerseits und E₂ und die Anzeige τ₂ = τ₁ + Δτ auf Ώ andererseits zusammenfallen.
Konkretes Beispiel: Ich trinke einen leckeren Cappuccino, der erste Schluck ist E₁, der letzte E₂, Ώ ist meine Uhr und zeigt erst τ₁ = 08:29 und dann τ₂ = 08:35.
Eine Koordinatenzeit ...... ist, wie der Name sagt, eine Koordinatendifferenz, ähnlich wie die Projektion Δz der Strecke zwischen P₁ und P₂ auf eine Gerade, die wir z- Achse nennen.
Das kann die von B aus unter der Maßgabe, dass B stationär ist, ermittelte Zeitspanne Δt oder etwa die von B' aus unter der Maßgabe, dass B' stationär ist, ermittelte Zeitspanne Δt'.
Konkretes Beispiel: Ich komme mit v = 0,6c auf Dich zu und stehe mit Dir im Funkkontakt. Dabei sehen wir einander durch den DOPPLER- Effekt im Zeitraffer um den Faktor
(4) 1⁄K = √{(c − v)/(c + v)} = √{(1 − β)/(1 + β)} = ½.
Du siehst mich also in 3 Minuten den Cappuccino trinken, aber das ist nicht Δt, sondern Δt∙(1 − β) = 0,4∙Δt. Du musst ja die schrumpfende Entfernung und damit die schrumpfende Verzögerung berücksichtigen.
Daher muss Δt selbst 2½ mal so lang sein, nämlich 7½ Μinuten.
Abb. 1: Der optische DOPPLER- Effekt
Die "Zeitdilatation" ist ein Nebeneffekt der Relativität der Gleichzeitigkeit räumlich getrennter Ereignisse. Mit den unterschiedlichen Richtungen der sog. Weltlinien (WL) zweier Uhren gehen auch unterschiedliche "Ebenen" konstanter Zeit einher.
Abb. 2: Relativität der Gleichzeitigkeit der Emission zweier Signale von zwei in einer Geraden mit B liegenden Raumfahrzeugen A und C
Für das Verhältnis zwischen der Entfernung Δs zwischen P₁ und P₂ in der z*?-x- Ebene und ihren Koordinatendifferenzen Δz und Δx in einem und Δz° und Δx° in einem anderen Koordinatensystem ist nach PYTHAGORAS durch
(5) Δs² = Δz² + Δx² ≡ Δz°² + Δx°²
gegeben. Ganz ähnlich ist das Verhältnis zwischen Δτ einerseits und den Koordinatendifferenzen von E₁ und E₂ in der t-x- Ebene nach MINKOWSKI durch
(6) Δτ² = Δt² − Δx²⁄c² ≡ Δt'² − Δx'²⁄c²
gegeben. Übrigens lässt sich dabei über
Δx = v∙Δt
auch der LORENTZ- Faktor γ herleiten.
Abb. 3: Bei ausgedehnten Körpern oder Vorgängen, die sich innerhalb eines Raumbereiches abspielen, ist die Weltlinie als Beschreibung unzureichend. Hier bietet sich eher das Wort "Weltwurst" und der Vergleich mit einer Salami an
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*) Geschwindigkeit (velocity) ist eine Vektorgröße, eine Größe mit Richtung, ähnlich wie die Position r› eines Punktes O relativ zu einem anderen Punkt O bzw. U (der Bezugs-Uhr); wie diese lässt sie sich in drei Komponenten vx, vy und vz zerlegen.
Zieht man aus dem Skalarprodukt von v› mit sich selbst, ‹v∙v› = vx² + vy² + vz², die Quadrazwurzel, erhält man das Tempo (speed), den Betrag der Geschwindigkeit. Auch die Lichtgeschwindigkeit ist eigentlich ein Tempo.
Abb. 4: Position r› als Diagonale eines Quaders mit den Maßen x×y×z
Wenn wir nur die Richtung betrachten, in der sich B' relativ zu B bewegt, und sie als x-Richtung bezeichnen, ist nur vₓ≠0, und wir können einfach v schreiben.
