Zeigen das Folge konvergent Bzw divergent ist?
Hallo, :) kann mir jemand sagen wie ich zeige das e^-n gegen 0 konvergiert ? Und Ln n bestimmt divergiert ? Anweden soll man die Definition der Konvergenz Bzw divergenz. Beim ersten habe ich zum Schluss stehen e^-n - 0 = e^-n < E Bin mir aber unsicher ob mein Weg dorthin richtig ist. Und bei der 2. habe ich leider garkein Idee :/
2 Antworten
Ich würde es über das Sandwich lemma beweisen:
Das 1/n gegen 0 konvergiert darf man denke ich annehmen (ansonsten mit epsilon delta kriterium beweisen)
Es ist e^n >= n für n element N (kannst du auch seperat beweisen)
Sodass gilt:
0 <= 1/(e^n) <= 1/n
Da lim (0) = 0 und lim (1/n) = 0
folgt mit dem.sandwich lemma lim (1/e^n) = 0
Hallo,
nimm doch einfach das Quotientenkriterium.
|e^(-n+1)/e^(-n)|=|e^n/e^(n+1)|=|e^n/(e^n*e)|=1/e (nach Kürzen von e^n.
|1/e|=1/e<0, daher Konvergenz. Da n nicht mehr vorkommt, gilt dies natürlich auch für n gegen unendlich.
Bei ln(n) dürfte es genügen, zu sehen, daß die notwendige Bedingung für eine konvergente Folge, nämlich lim (n gegen unendlich) an=0, hier auf keinen Fall erfüllt ist, denn der natürliche Logarithmus wird mit steigenden n immer größer und geht auf keinen Fall gegen Null.
Herzliche Grüße,
Willy
Wenn die Reihe e^-n konvergiert dann ist e^-n eine Nullfolge (Nullfolgenkriterium), daher ist der Beweis mit dem Quotientenkriterium korrekt (wenn auch umständlich). Ich würde es über das Sandwich lemma beweisen: Das 1/n gegen 0 konvergiert darf man denke ich annehmen. Es ist e^n >= n für n element N (kannst du auch seperat beweisen) Sodass gilt: 0 <= 1/(e^n) <= 1/n Da lim (0) = 0 und lim (1/n) = 0 folgt mit dem.sandwich lemma lim (1/e^n) = 0
"Anweden soll man die Definition der Konvergenz Bzw divergenz."
Ich glaube nicht, dass man Konvergenz üblicherweise mit Quotientenkriterium definiert.
"daß die notwendige Bedingung für eine konvergente Folge, nämlich lim (n gegen unendlich) an=0"
Das ist für Reihen notwendig, aber nicht für Folgen. Du willst behaupten, dass jede konvergente Folge eine Nullfolge sein muss?
Betrachte beispielsweise die durch a[n] = 1-1/n gegebene Folge. Diese konvergiert nicht gegen 0. Trotzdem konvergiert die Folge (gegen 1) anstatt zu divergieren.