Zahl hoch i - warum Real- + Imaginärteil?
Warum ergibt sich aus einer reellen Zahl hoch i ein Realteil und ein Imaginärteil?
Warum ist z.B. 2^i ca. 0,77 + 0,64i?
Bin kein Mathestudent, habe gerade das Abi abgeschlossen und ein Informatikstudium in Aussicht. Frage aus Interesse.
4 Antworten
Eine relle Zahl x kann man schreiben als
Damit wird
aber ich sehe gerade, dass das andere ohnehin schon geschrieben haben.
2^i = e^(ln(2)*i)
Wenn man eine Zahl in der Form von e^(x*i) hat, dann befindet sie sich auf der komplexen Zahlenebene auf einem Einheitskreis mit einem Radius von 1 um den Punkt 0. Das x kann man als Winkel betrachten. Wenn x = 0 ist, dann ist der Punkt gleich 1. Wenn x = π/2, also 90°, dann ist der Punkt i. für x = π ist der Punkt -1 und für x = 3/2π ist der Punkt -i. Wenn man π/4 hat, also der Winkel 45° ist, dann ist der Punkt 0,707... + 0,707... * i. Jetzt nehmen wir für x ln(2). ln(2) ergibt einen Winkel von etwa 0,693 also etwa 39,7°. Das löst jetzt denke ich nicht das Geheimnis komplett, aber bringt vielleicht etwas mehr Licht ins Dunkle.
Sei die Zahl x und zur Einfachheit positiv.
Dann gilt: x^i=e^(ln(x)*i)
Und da e^(i*phi)=cos(phi)+i*sin(phi) gilt bekommst du dann:
cos(ln(x))+i*sin(ln(x))
Wenn du zum Beispiel x=2 nun einsetzt bekommst du nun genau das was du als Ergebnis hast.
Da haben wir wohl strukturell fast genau den gleichen Gedankengang gehabt ;-)
Für zwei komplexe Zahlen w, z ist die Potenz als
definiert. Damit stimmt sie, falls w und z nicht echt komplex, sondern reell sind, mit der reellen Potenz überein und ist damit eine echte Verallgemeinerung der reellen Potenz.
Also ist für eine eine reelle Zahl a
und damit genau dann reell, wenn ln(a) eine Nullstelle von sin, d.h.
ist. Ist das nicht der Fall - wie bei a = 2 -, ist a^i echt komplex.