Der Betrag einer komplexen Zahl und die Beträge von Real und imaginären Teil?

ich habe eine komplexe Zahl

Z= 1+i

der Betrag ist dann $\mid z\mid=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ was ist der Betrag des Realteils $\mid1\mid=1$ was ist aber jetzt der Betrag von i

müsste ja auch eins sein oder ?

wie ist dann die Summe der Beträge von Realteil und imaginärem Teil

Answer 1

[LoverOfPi]

Zu deiner Frage im Kommentar bei Doubtes Antwort:

Natürlich sind die Beträge ungleich, es gilt hier die Dreiecksungleichung:

$\left|a\right|+\left|b\right|\ \ge\ \left|c\right|$

Real- und Imaginärteile bilden ein rechtwinkeliges Dreieck, die Hypotenuse ist dein Betrag der Zahl z, die Einzelbeträge müssen natürlich größer sein.

Comments

[MarkusPuch]

heißt ja größer gleich oder

[LoverOfPi]

@MarkusPuch

Natürlich, Gleichheit aber nur für a,b,c=0

Answer 2

[MeRoXas]

Im Allgemeinen gilt ja für z=a+bi ja

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ Wegen i = 0+1*i ist dann

$|i|=\sqrt{0^2+1^2}=1$

Comments

[MarkusPuch]

das ist klar hatte ich Betrag von z ist ja Wurzel 2 oder ?

Answer 3

[verreisterNutzer]

Der Betrag von 1 ist gleich |1| = 1 und der Betrag von i ist gleich |i| = 1.

Die Addition dieser Beträge ist also:

$Z=1+i\ =>|1|+|i|=1+1=2.$

Comments

[MarkusPuch]

der Betrag von z ist eigentlich wurzel 2 oder nicht

[MarkusPuch]

@MarkusPuch

damit sind die beiden Beträge ungleich oder nicht ?