Woher weiß man, dass dass π unendlich viele Nachkommastellen hat?

3 Antworten

Ja , wieder regt sich alle Welt auf , dass du die Frage nicht genau genug gestellt hast .

Natürlich kannst du nur die Nachkommastellen meinen .

Auch Mathematikerinnen haben schon bewiesen ( oder es müssen ) ,dass π ein bestimmte Sorte von Zahl ist . Man kann π z.B nicht als Bruch schreiben . Daher muss sie unendlich viele Stellen nach dem Komma haben.

Beweise sind nicht wirklich einfach , einen findest du hier

Man kann beweisen, dass pi sich nicht als Bruch von zwei ganzen Zahlen darstellen lässt. Also es gilt z.B. nicht pi = 355/113 oder so.

Daraus folgt bereits, dass pi nicht nur endlich viele Nachkommastellen haben kann, denn ansonsten könnte man pi mit einer Potenz von 10 multiplizieren und das Ergebnis wäre eine natürliche Zahl n. Dann wäre pi aber der Quotient aus n und dieser Zehnerpotenz, also ein Bruch zweier ganzer Zahlen.

Weniger abstrakt: Wäre z.B. pi = 3,14 dann könnte ich ja schreiben:

100 * pi = 314, also pi = 314 / 100. Aber wie gesagt, pi als Bruch zweier ganzer Zahlen zu schreiben ist beweisbar unmöglich.


Halbrecht  22.11.2022, 19:24

gibt es eigentlich Beweise , die nur zeigen ,dass π mindestens reell ist ?

Jangler13  22.11.2022, 19:26
@Halbrecht

Pi ist per Definition reell. (Zumindest so, wie Pi in der Höheren Mathematik Definiert wird: π/2 ist definiert als die eindeutige Nullstelle vom Cosinus im Intervall [0,2] Quelle: Analysis 1, sowohl das Buch von Otto Forster und Königsberger)

Halbrecht  22.11.2022, 19:28
@Jangler13

Per definition . dann muss man doch die "Reellheit" der ersten NSt voraussetzen , oder ?

MagicalGrill  22.11.2022, 19:30
@Halbrecht

Du meinst, man muss die Existenz einer reellen Nullstelle voraussetzen? Die folgt aus dem Zwischenwertsatz.

Jangler13  22.11.2022, 19:31
@Halbrecht

Habe mein Kommentar angepasst, sodass es dem Entspricht, was in der Literatur steht. Aber ja, es muss natürlich erst bewiesen werden, dass der Cosinus im Intervall [0,2] exakt eine Null-Stelle besitzt (was in der Literatur auch vorher gemacht wird)

MagicalGrill  22.11.2022, 19:34
@Halbrecht

Es ist etwas "awkward", aber man nennt das doppelte dieser Nullstelle pi ;)