Limes gegen Null Sinus?
hallo,
wieso ist sinus usw. gegen null gleich eins hier ?
2 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/SlowPhil/1649031375350_nmmslarge__455_721_1364_1364_fdb83a409a351f2b82eb7387bbd682d9.jpg?v=1649031376000)
Hallo techwox,
könnt Ihr Reihenentwicklung? Viele Funktionen kann man nämlich problemlos mit ihren Potenzreihen identifizieren, und bei Sinus und Cosinus oder der Exponentialfunktion ist dies der Fall.*)
Es ist
(1) sin(x) = x – x³/6 + … + xⁿ/n! – …
und damit
(2) sin(x³) = x³ – x⁹/6 + … + x³ⁿ/n! – …
und damit
(3) sin(x³)/x³ = 1 – x⁶/6 + … + x³ⁿ⁻³/n! – ….,
was im Limes x→0 erkennbar 1 ergibt, denn nur das erste Glied enthält kein x mehr, und im Nenner kommt x nicht vor, was natürlich Voraussetzung dafür ist, dass man den Grenzübergang machen darf.
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*) Vorsichtig sein muss man beim Tangens, weil der Polstellen hat. Da ist die Reihenentwicklung nur begrenzt möglich. Die Begrenzung gilt übrigens auch, wenn die Polstellen nicht reell sind.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/michiwien22/1558864367180_nmmslarge__101_0_186_186_a55bbd11e4dc916ca856e2e974d91619.png?v=1558864367000)
Die cos Ausdrücke sind ja unkritisch, da sie gegen 1 gehen.
Für hinreichend kleine x nähert sich sin(x) immer mehr an x an, wesewgen der Quotient 1 wird:
Die Stelle x=0 ist für sin(x)/x eine hebbare Definitionslücke:
![- (Schule, Mathematik, Sinusfunktion)](https://images.gutefrage.net/media/fragen-antworten/bilder/304243409/0_big.jpg?v=1549786685000)
![- (Schule, Mathematik, Sinusfunktion)](https://images.gutefrage.net/media/fragen-antworten/bilder/304243409/1_big.jpg?v=1549786685000)