Wieso ist 1+1 = 0?
Hi, laut folgenden Artikel ist 1+1 = 0,
Ich verstehe nicht wieso 1+1 = 0 ist, was ist das für ein sinn?
https://mathematik-studium-tipps.de/eins-plus-eins-gleich-null/
12 Antworten
Weil es sich in diesem Artikel nicht die übliche 1 in den natürlichen Zahlen handelt, sondern um die 1 im endlichen Körper mit 2 Elementen. Und im Körper mit 2 Elementen ist die Addition eben entsprechend definiert, dass 1 + 1 = 0 gilt. (1 + 1 = 2 wäre in dem Körper quasi auch nicht möglich, da man in dem Körper nur die beiden Elemente 0 und 1 hat, aber kein Element 2.)
Das hat etwas mit Definitionsmengen zu tun.
Mal ein einfaches Beispiel aus dem Leben.
Du hast eine Wechselschaltung im Flur, also 2 Schalter die eine Lampe schalten sollen.
Die Schalter besitzen den Zustand 1 und 0, genauso wie die Lampe.
Wenn jetzt beide Schalter auf 0 stehen ist die Lampe aus. 0+0=0
Wenn du einen der Schalter einschaltest geht die Lampe an. 0+1=1+0=1
Jetzt kommt der Clou. Es ist egal welchen Schalter du als nächstes Schalten willst, die Lampe wird ausgehen. Wenn du also den anderen Schalter schaltest hast du 1+1=0.
Und auch sowas muss mathematisch Definiert werden mit den Mengen 0 und 1 1!=0.
Die Kurzfassung: Die 1 und die 0, die in diesem Artikel beschrieben sind, sind nicht die Zahlen, die du kennst. Die für dich vermutlich einfachste Interpretation ist:
0 steht für gerade Zahlen und 1 steht für ungerade Zahlen.
Aus dem Grundschulwissen leiten sich dann direkt die Rechenregeln ab:
0 + 0 = 0 [denn gerade + gerade ergibt gerade],
1 + 0 = 1 [denn ungerade + gerade ergibt ungerade],
0 + 1 = 1 [denn gerade + ungerade ergibt ungerade] und
1 + 1 = 0 [denn ungerade + ungerade ergibt gerade].
Sorry dass ich das jetzt frage, aber wie alt bist du und welche Schullaufbahn hast du bisher hinter dir?
Der Artikel steht nicht umsonst auf einer Seite, die sich "mathematik-studium" nennt. Es dreht sich in dem Artikel um ein abstraktes mathematisches Konstrukt namens "Körper", in welchem Rechenregeln definiert werden, wie sie auch bei den Zahlen die allgemein bekannt ist (Brüche, reelle zahlen) gelten.
Der im Artikel beschriebene Körper mit nur den zwei Elementen 0 und 1 ist der "kleinste" Körper, den man definieren kann. Die Theorie von Körpern ist ein Teilgebiet der Algebra.
In der Mathematik muß man lernen, sich von bekannten Begriffen und Vorstellungen rund um die Zahlen die einem täglich begegnen zu lösen. Statt dessen wird mit abstrakt formulierten Axiomen und Schlußfolgerungen gearbeitet. Es braucht viel Zeit, aber vor allem viel Willen sich darauf einzulassen, um zu lernen sich in diesen Strukturen zu bewegen.
Löse dich von den normalen Zahlen. Jetzt hast du nur die beiden Zahlen 0 und 1 und den Operator +.
Dieser Operator nimmt wie auch sonst zwei Zahlen und verbindet sie. Für jede der 2x2 Parameter kommt ein Wert raus, wieder nur 0 oder 1.
Hier ist das so wie beim binären Addieren ohne Übertrag. Also ist 1 + 1 = 0
Wenn man den Übertrag weg lässt, dann ist das Ergebnis aber doch falsch. Warum sollte man absichtlich falsch rechnen (wollen)?
Keiner rechnet hier falsch.....für das im Artikel geschilderte Konstrukt gilt 1 + 1 = 0
Falsch ist, was nicht der Definition entspricht.
Der eigentliche Clou ist ja auch, daß die Addition in F2 genau der Boolschen Funktion XOR entspricht.
Und nützlich ist das ganze zum Beispiel bei der Parität.
Und das vom wohl erfolglosesten Mathematiker aller Zeiten! *grins*
Ich kann Dir das aber auch gerne anders darlegen, vielleicht etwas intuitiver
Du möchstest zwei große Zahlen schriftlich addieren, wir nehmen an die letzten beiden Ziffern seien 7 und 5. Was schreibst Du unter den Strich?
7+5=12, 2 hinschreiben, 1 merken.
Soweit so einfach, aber wie ist das denn nun formaler betrachtet?
Ich berechne a+b+(Übertrag) mod 10 für jede Stelle (Tolles Ding dieser Restklassenring).
Im binären System rechne ich entsprechend a+b+Carry mod 2 und das entspricht im Ergebnis der Addition im Körper F2. (Dem Galoisfeld für p=2). Und die Addition in F2 entspricht dann eben dem Boolschen XOR, der Übertrag dem boolschen AND.
Und schon haben wir das Handwerkszeug, um im binären System ordentlich rechnen und dies auch auf Gatter abbilden zu können.
MAGIE! TEUFELSWERK! VERBRENNT SIE!
Bis "Soweit..." hattest du mich noch, danach wurde es zum Brei für mich. Gut, dass ich das Binärsystem schon kenne.
Binär 1 + 1 ist aber 10.