Wieso bildet man den Kehrwert beim dividieren von Brüchen?
a/b ÷ c/d = a/b • d/c Aber warum macht man das so?
Ginge auch a/b ÷ c/d = b/a • c/d?
5 Antworten
1. Weil so dividiert wird. 5 durch 3 ist 5/3 und 5 durch 1/2 ist 5 mal 2. So ergibt sich die Regel.
2. Nein, das geht nicht.
Das ist Mathe, pass auf.
Wenn Du zwei Pizzen hast und Du später ganze Pizzen auf dem Teller haben möchtest, teilst Du 2 durch 1, also 2 ganze Stücke.
Jetzt überlege Dir, wieviele halbe Stücke könntest Du aus 2 Pizzen machen? Richtig, 4 halbe.
Durch Brüche wird dividiert, indem man mit dem Kehrwert multipliziert.
2/1 : 1/2 = (2*2) /(1 *1) = 4
Dazu musst du wissen, was genau ein Bruch ist. a/b ist dasselbe wie a÷b. Nehmen wir einmal an, du hast 1/2 und 1/3, beide Brüche sind also kleiner als 1. Teilst du 1/2 durch beispielsweise 3, dann wird das logischerweise noch kleiner. Teilst du es durch 1, dann bleibt es gleich. Teilst du es durch etwas, dass kleiner als 1 ist, dann muss 1/2 logischerweise größer werden.
Anschaulicher erklärt: Stell dir vor, du hast drei Karotten und willst das 1/2 unter ihnen aufteilen. Rechnung: 1/2 ÷ 3. Alle drei Karotten zusammen haben das ganze Zweitel. Indem du 1/2 durch 3 teilst, willst du wissen, wie viel von 1/2 eine Karotte bekommt.
Jetzt machst du dasselbe mit einem Drittel einer Karotte. Rechnung: 1/2 ÷ 1/3. Das Drittel hat 1/2, aber die ganze Karotte, also drei Drittel, also eine Karotte hat 3/2. Deswegen musst du das umdrehen: 1/2 ÷ 1/3 = 1/2 • 3/1.
(Das hat sich natürlich jemand so ausgedacht. Es scheint ein bisschen absurd, dass man etwas unter einem Drittel Karotte aufteilen will. ^^ Aber es ist logisch, wenn man das Konzept und die Regeln, die man bereits hatte, so fortsetzen will. Anders ginge es auch gar nicht.)
Das heißt, als Regel kannst du dir merken: zweimal geteilt gibt immer ein Mal. a÷(b÷c) = a÷b•c. Wenn du etwas als Bruch schreibst, dann ist das, als ob da eine Klammer wäre.
a/b ÷ c/d = a ÷ b ÷ c • d = (a*d)/(b*c)
a/b • d/c = a ÷ b • d ÷ c
Deswegen ist das dasselbe. Aber das hier müsstest du so umschreiben:
b/a • c/d = b ÷ a • c ÷ d = (b*c)/(a*d)
Also nein, das ist nicht dasselbe, sondern genau umgekehrt.
Argh, ich hoffe, das ist verständlich erklärt. Ich habe es jedenfalls versucht. XD Die Karotte darfst du jetzt essen.
Deine Variante geht nicht. Setze mal für a 2 ein und für b,c, und d 1 und rechne es selber aus. Dann siehst du, dass unterschiedliche Ergebnisse rauskommen.
Warum diese Rechenregel so ist, kann ich dir nicht sagen. Du kannst die Regel einfach so hinnehmen oder falls es dich interessiert, studiere doch Mathematik ;)
Vermutung: x : y = z. Probe z ·y = x ??
Das funktioniert, wenn statt durchy zu dividieren mit dem Kehrwert von y multipliziert wird...