Wie zeigt man, dass diese Menge ein Untervektorraum ist??
Bitte ausführlich. Ich habe es versucht, aber keine Ahnung wie man vorgeht.
Vielen Dank im Voraus!
?
2 Antworten
Eine nicht-leere Teilmenge eines Vektorraums ist genau dann ein Unterraum, wenn sie bzgl. Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist. Wenn du das gezeigt hast, bist du schon fertig.
Genauer: Sei V ein IR-Vektorraum und U eine Teilmenge von V. Dann ist U ein Unterraum von V, wenn:
-
-
(Das diese zwei Bedingungen ausreichen, damit die Teilmenge ebenfalls für sich einen Vektorraum bildet, ist wahrscheinlich entweder ein Satz deiner Vorlesung oder, wenn der Professor faul ist, einfach die Definition eines Unterraums).
Diese zwei Bedingungen musst du überprüfen. Erst nimmst du an, dass v und v' in U sind, bildest dann die Summe und zeigst, dass der Vektor v + v' ebenfalls in U liegt. Dann nimmst du dir einen Vektor und einen Skalar und zeigst, dass das Produkt mit dem Skalar ebenfalls in U liegt. Das ist alles.
LG
Das ist eine typische Aufgabe, mit der abgeprüft wird, ob du die die Definition eines Vektorraums verstanden hast.
Aufschreiben, was ein Vektorraum ist, und dann einzeln überlegen, warum das für die Menge U gegeben ist.
Abgeschlossenheit bezüglich der Addition: Seinen u,v\in U. Zu zeigen: u+v \in U. Damit u+v \in U ist, muss gelten: (u+v)(x) = (u+v)(-x) \forall x. Da u\in U ist, gilt u(x) + v(x) = u(-x) + v(x) für alle x\in R, und da gleiches für v gilt, ist u(x) + v(x) = u(-x) + v(-x) = (u+v)(-x).
Kannst du bitte kurz zeigen, wie man hier vorgeht? Wie zeigt man die Abgeschlossenheit bzgl. der Addition und Multiplikation bei diesem Beispiel?