Hallo zusammen, könnte mir jemand bei dieser Aufgabe behilflich sein? Meine Lösungsansätze:
(i) Gegenbeispiel:
{1,2,3} {4,5,6} = {1,2,3,4,5,6}
{4,5,6} {1,2,3} = {4,5,6,1,2,3}
(ii) Die Gleichung gilt nicht für zwei verschiedene Tupel, da die Tupel gleich sein müssten, damit die Aussage richtig wäre. Tupel sind jedoch nur dann gleich, wenn sie gleich lang sind und ihre entsprechenden Komponenten gleich sind. Somit bräuchte man identische Tupel.
(iii) Hier komme ich nicht weiter. Ich muss irgendwie an das kartesische Produkt denken, womit man die Tupel als Mengen definieren könnte und so auf eine Lösung kommen. Allerdings kommt es ja gerade beim kartesischen Produkt auf die Reihenfolge an, wodurch es so sicher nicht zur Lösung beitragen würde...
Könnte mir vllt. jemand eine Rückmeldung geben?
Die Aufgabe:
Sind (a1, . . . , an) und (b1, . . . , bm) zwei Tupel von (reellen) Zahlen, so definieren wir deren Kästchensumme als (a1, . . . , an) (b1, . . . , bm) := (a1, . . . , an, b1, . . . , bm). Die Kästchensumme nimmt also zwei Tupel und macht aus diesen ein neues Tupel, so wie auch die Addition zweier Zahlen wieder eine Zahl liefert. Nun können wir uns fragen, welche Eigenschaften die Kästchensumme hat.
(i) Zeigen Sie, dass die Gleichung (a1, . . . , an) (b1, . . . , bm) = (b1, . . . , bm) (a1, . . . , an) im Allgemeinen nicht stimmt, indem Sie ein Gegenbeispiel angeben.
(ii) Gilt obige Gleichung wenigstens für manche Tupel? Können Sie ein Beispiel von zwei verschiedenen Tupeln angeben, sodass obige Gleichheit erfüllt ist?
(iii) Definieren Sie selber eine Verknüpfung ~, welche aus zwei Tupeln von Zahlen ein weiteres Tupel von Zahlen macht (wie die Kästchensumme). Sorgen Sie hierbei dafür, dass Ihre Verknüpfung im Allgemeinen von den Tupeln abhängt (also zB. nicht konstant ist). Untersuchen Sie anschließend ebenfalls analog zur letzten Aufgabe, in welchem Rahmen die Gleichung (a1, . . . , an) ~ (b1, . . . , bm) = (b1, . . . , bm) ~ (a1, . . . , an) für beliebige Tupel (a1, . . . , an) und (b1, . . . , bm) gilt