Wie viele 6-Tupel aus der Menge {1,2,3,4} gibt es, in denen jedes Element höchstens 2 Mal vorkommt?
Leider kann ich die Lösung nicht nachvollziehen. In der Musterlösung steht geschrieben:
2 Doppelt: (4 über 2) * (6 über 2) * (4 über 2)* 2
3 Doppelt: 4 * (6 über 2) * (4 über 2 )
Zusammengerechnet: 90*16 = 1440.
Ich verstehe das entweder 2 oder 3 Zahlen doppelt auftauchen müssen, da n=4 bei einem 6 Tupel ist. Aber wie kommt man auf die hier angegebene Lösung und was für Gedanken stecken dahinter?
Ich weiß, dass in einem Tupel die Reihenfolge beachtet werden muss, Wiederholungen auftreten dürfen. Dennoch rechnet man mit (n über k) also dem Binomialkoeffizienten. Dennoch kann ich die Lösung nicht ableiten..
2 Antworten
Hallo,
mein Rechenweg ist etwas anders, führt aber zum gleichen Ergebnis:
Du hast vier unterschiedliche Ziffern, die zu Gruppen von 6 Ziffern zusammenstellen sollst. Daß dabei einige Elemente mehrfach verwendet werden sollen, liegt auf der Hand.
Hier kommt noch die Einschränkung hinzu, daß keins der vier Elemente mehr als doppelt in einer Gruppe vorkommen darf. Das geht nur, wenn entweder zwei oder drei Paare in einer Gruppe vorkommen.
Du unterscheidest also zwei Fälle:
In einer Sechsergruppe sind zwei Paare gleicher Elemente vorhanden und:
In einer Sechsergruppe sind drei Paare vorhanden.
Fall 1:
Aus den vier Elementen werden zwei ausgewählt, die doppelt vorkommen, daher
(4 über 2)=6.
Sechs Elemente kannst Du in 6! Reihenfolgen bringen. Da jeweils zwei Paare gleicher Elemente in den Sechsergruppen vorkommen, teilst Du 6! durch (2!*2!), also durch 4.
Du kommst also auf 6*720/4=1080.
Fall 2: Es gibt drei Paare gleicher Elemente.
Du kannst auf (4 über 3)=4 Arten drei aus vier Elementen auswählen.
Diese drei Paare kannst Du in 6!/(2!*2!*2!)=720/8=90 unterschiedliche Reihenfolgen bringen.
4*90=360. 1080+360=1440.
Herzliche Grüße,
Willy
Ok, du hast die Variation zu Rate gezogen, in der Aufgabe habe ich aber durch "in dem jedess Element max. 2mal vorkommt" auf Kombination getippt, da nirgends von Reihenfolge etwas steht! Und Kombinationen gibt es nur 6!
Ja mein guter Willy, die Variationen habe ich ja verstanden, man braucht ja nur die Formel aufstellen! Für die Kombination sind es aber nur 6.
Für die Kombination. Hier geht es aber um 6-Tupel - und bei denen spielt die Reihenfolge immer eine Rolle.
Danke für die super ausführliche, verständliche und richtige Erklärung!!! Selten so verständlich eine Frage beantwortet bekommen!
Nein, keine reihenfolge: "In denen jedes Element max. 2mal vorkommen kann" ist Kombination! Irgendwie verstehe ich die Aufgabe auch nicht, denn aus den 4 Elementen werden 6er Tupel gebildet, also 2 ideelle kommen dazu!
1234(12); 1234(13); 1234(14); 1234(23); ... also insgesamt nur 6!????
Es handelt sich ausdrücklich um 6-Tupel, also um eine geordnete Liste von sechs Elementen, die auch mehrfach vorkommen dürfen.
Da es sich um eine eordnete Liste handelt, spielt die Reihenfolge durchaus eine Rolle. Das unterscheidet Tupel von Mengen.
Dann ist Tupel anders definiert, als es eigentlich bedeutet; 6 Elemente! Ob jetzt die Reihenfolge zählt oder nicht, müssten die Tupel der Kombination oder Variation zugeordnet werden! Du ordnest sie NUR der Variation zu!
In der Mathematik ist ein Tupel so definiert, daß es eine geordnete Liste oder Folge von Elementen ist, die nicht ununterscheidbar sein müssen.
Wenn Du es in der Mathematik mit einem Tupel zu tun hast, spielt die Reihenfolge immer eine Rolle.
Die Musterlösung aus der Frage ist korrekt.
Zur angegebenen Lösung:
Auch hier werden die beiden Fälle - zwei doppelt oder drei doppelt - unterschieden.
Einmal werden 2 aus 4 Elementen ausgewählt, die doppelt sind.
Paar 1 kannst Du auf (6 über 2) Arten auf den sechs Plätzen verteilen, für Paar 2 bleiben noch (4 über 2) Möglichkeiten für die vier restlichen Plätze, während für die beiden einzelnen Ziffern nur noch die beiden letzten Plätze bleiben, die aber untereinander getauscht werden können, daher *2.
Bei drei Paaren hast Du 4 über 3, also 4 Möglichkeiten, die drei doppelten Ziffern aus den vier vorhandenen auszuwählen.
Paar 1 hat wieder (6 über 4) Möglichkeiten, seine Plätze einzunehmen, Paar 2 hat (4 über 2) Möglichkeiten, Paar 3 nur noch eine, nämlich die beiden verbliebenen Plätze. Hier gibt es nichts auszutauschen, weil es sich um ununterscheidbare Elemente handelt und nicht um zwei unterschiedliche Einzelziffern.