Wie viele Geraden laufen durch 2 Punkte? Geometrie
WIe lässt sich das am besten erklären? Ich muss das bis 100 Punkten können.
3 Antworten
Durch jeweils zwei Punkte ist genau eine Gerade konstruierbar.
Wenn du x Punkte hast, dann kannst du so viele verschiedene Geraden konstruieren, wie es verschiedene Möglichkeiten gibt, aus x Punkten 2 Punkte auszuwählen.
Bei x = 2 gibt es 1 solche Möglichkeit.
Bei x = 3 gibt es 3 solche Möglichkeiten.
Bei x = 4 gibt es 6
Bei x = 5 schon 10.
Allgemein:
Bei x Punkten gibt es x * (x-1) / 2 Möglichkeiten.
Folglich gibt es bei x = 100
100 * 99 / 2 = 4950 verschiedene Möglichkeiten und daher ebensoviele verschiedene Geraden.
Möglichkeit der Herleitung (induktiv):
Durch zwei Punkte können wir genau 1 Gerade legen: f(2) = 1
Wenn wir n Punkte haben, von denen je 2 durch eine Gerade bestimmt sind, und f(n) kennen, ergibt sich f(n+1) durch Hinzunahme eines (n+1)-ten Punktes (mit einer wichtigen Zusatzvoraussetzung - s. u.); von diesem Punkt aus lässt sich durch jeden anderen der bisherigen Punkte eine (und nur eine) Gerade legen. D. h.
f(n+1) = f(n) + n
Damit haben wir für n+1 Punkte
1 + 2 + ... + n = n (n+1) / 2 Punkte (bekannte spezielle Reihe oder arithmetische Reihe)
Also ist (die formal noch erforderliche komplette Herleitung spare ich uns hier)
f(n) = (n-1) n /2
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Die oben erwähnte Zusatzvoraussetzung ist: der neue Punkt darf mit keinen 2 der bisherigen Punkte kollinear sein (mit ihnen auf derselben Geraden liegen).
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D. h.
Unter der Voraussetzung, dass keine drei der Punkte kollinear sind, lassen sich durch n Punkte (n >= 2)
(n-1) n / 2
Geraden legen.
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Für n = 1 ergibt sich f(n) = 0, obwohl sich durch einen einzelnen Punkt unendlich viele verschiedene Geraden legen lassen.
Durch 2 Punkte läuft 1 Gerade. Durch 3 Punkte laufen 3 Geraden. Durch 5 Punkte laufen 6 Geraden. usw.
Durch 2 Punkte läuft genau eine Gerade und sonst gar nichts. Durch 3 Punkte wird eine Parabel bestimmt.
... oder drei verschiedene Geraden - oder auch ein Kreis ... je nachdem, was man haben will :-)
Mit 5 Punkten können bereits 10 verschiedene Geraden konstruiert werden. Überleg noch einmal genau ...