Worin unterscheiden sich nicht-euklidische und euklidische Geometrie?
Kann mir das bitte jemand für ganz ganz Doofe erklären? Wäre euch sehr zu Dank verbunden, wenn das jemand in ein paar prägnanten Punkten machen könnte
5 Antworten
Euklidisch: Dreieck-Winkelsumme ist 180 Grad
nicht-euklidisch: Winkelsumme kann größer als 180 Grad sein.
Die
https://de.wikipedia.org/wiki/Euklidische_Geometrie
geht davon aus, dass Euklids viertes Axiom
dass, wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei geraden Linien bewirke, dass innen auf derselben Seite entstehende Winkel zusammen kleiner als zwei rechte würden, dann die zwei geraden Linien bei Verlängerung ins Unendliche sich treffen würden auf der Seite, auf der die Winkel lägen, die zusammen kleiner als zwei rechte seien (kurz: dass zu einer geraden Linie durch einen gegebenen Punkt, der außerhalb dieser Geraden läge, höchstens eine dazu parallele gerade Linie existieren dürfe, siehe Parallelenpostulat).
gilt. In einer nichteuklidschen Geometrie gilt dieses Postulat nicht.
Beispiel 1: In der sphärischen Geometrie wird die Rolle der Geraden von den Großkreisen übernommen. Diese schneiden sich IMMER in zwei Punkten oder sie fallen zusammen. D.h. das Konzept einer "Parallele" gibt es dort gar nicht.
Beispiel 2: in einer hyperbolischen Geometrie gibt es zu einer Gerade g und einem Punkt P der nicht auf der Geraden liegt mehrere (also mindestens zwei) Geraden die durch den Punkt P gehen und parallel zu g sind.
In der euklidischen Geometrie muss das Parallelenaxiom Gelten (wenn man eine Ebene im Raum betrachtet, und dort eine gerade g sowie einen Punkt P hat, der nicht auf g liegt, dann existiert genau eine gerade h, die parallel zu g ist, und P enthält).
Im nichteuklidischen Raum, gilt dieses Axiom nicht.
Zum Beispiel gehören Gekrümmte Fläche, zur nichteuklidischen Geometrie, zum Beispiel die Oberfläche einer Kugel. Die Geraden auf diesen Flächen sind dann sogenannte Geodäten (das sind Kurven zwischen zwei Punkte, die die Kürzeste Länge haben. Betonung auf Kurven). Bei einer Kugel wären zum Beispiel die Großkreise (die Kreise auf der Kugel mit dem größtmöglichen Radius) die Geodäten.
Viele Eigenschaften die man aus der Euklidischen Geometrie kennt, funktionieren dann nicht mehr.
Zum Beispiel gibt es auf der Kugel Dreiecke mit drei rechten Winkeln, weswegen die Winkelsumme nicht mehr 180° sein Muss.
Es gibt aber auch Räume, wo Dreiecke Existieren, dessen Innenwinkelsumme kleiner als 180° ist.
Im allgemeinen ist die nichteuklidischen Geometrie viel komplizierter als die euklidische, und sie kann auch sehr unintuitiv sein. Außerdem ist es dort oft viel schwerer, bis unmöglich die exakte Distanz zwischen zwei Punkten zu bestimmen.
In der euklidischen Geometrie gelten bestimmte Axiome, die besagen, dass bestimmte Dinge wahr sind. Dazu gehören beispielsweise die Aussage, dass zwei Punkte immer genau eine Gerade verbinden, oder dass die Innenwinkel eines Dreiecks immer zusammen 180 Grad ergeben.
In der nicht-euklidischen Geometrie hingegen gelten diese Axiome nicht zwangsläufig. In manchen nicht-euklidischen Geometrien können zum Beispiel zwei Punkte mehrere Geraden verbinden, oder die Innenwinkel eines Dreiecks können zusammen mehr oder weniger als 180 Grad ergeben.
Im Allgemeinen kann man sagen, dass die euklidische Geometrie die Geometrie ist, die wir im Alltag erleben und die uns in der Schule beigebracht wird. Die nicht-euklidische Geometrie hingegen betrachtet Situationen, in denen die Axiome der euklidischen Geometrie nicht gelten, was zu sehr ungewöhnlichen und oft verblüffenden Ergebnissen führen kann.
Euklid: 2-dimensional - nicht-Euklidisch: mehr als 2 Dimensionen.
(Ist offensichtlich zu stark vereinfacht und daher falsch)
Sorry, leider nein. Sowohl sphärische wie hyperbolische Geometrien existieren auch im zweidimensionalen.
Nö, der Dreidimensionale Raum, in dem wir uns befinden, ist Euklidisch.
Nicht wirklich, denn ein Dreieck auf der Erde mit einer Ecke auf dem Nordpol und den beiden anderen Ecken auf dem Äquator beispielsweise hat eine Winkelsumme größer als 180 Grad.
Ich rede auch nicht von der zweidimensionalen Fläche der Kugel, auf der wir uns befinden, sondern der Dreidimensionale Raum, indem sich die Kugel Befindet. Im Bezug auf die Kugel ist es nicht Euklidisch, ja. Das ist aber ein zweidimensionaler Beispiel, was also sowieso deine Antwort widerspicht. Der Dreidimensionale Raum drum herum ist jedoch Euklidisch (zumindest so wie wir den Raum empfinden)
Eine Kugel ist zweidimensional? Nun verwirrst du mich. Das ich mit meiner Erklärung geirrt habe hab ich ja oben schon eingestanden. Aber eine Kugel ist meiner Ansicht nach immer noch dreidimensional. Sonst wäre es ein Kreis.
Nein. Es gibt auch mehrdimensionale Euklidische Räume.