Wie stelle ich möglichst smart eine Windschiefe Geradengleichung auf, wenn ich eine andere Gerade gegeben habe?
2 Antworten
Im Idealfall nimmst du den Richtungsvektor der Geraden und überlegst dir dazu zwei weitere Vektoren, sodass die drei zusammen linear unabhängig sind. Dazu kannst du z.B. ausnutzen, dass das Kreuzprodukt zweier Vektoren orthogonal zu beiden ist.
Einen der beiden neuen Vektoren nimmst du als Richtungsvektor der neuen Geraden. Den anderen neuen Vektor addierst du auf den Stützvektor der alten Geraden, um den neuen Stützvektor zu erhalten.
Am besten "prüfst" du das überhaupt nicht, sondern erzeugst sie auf eine Weise, bei der das automatisch gegeben ist.
Beispiel:
Richtungvektor ist a = (1, 2, 3).
Du suchst dir b = (1, 0, 0), der offensichtlich kein Vielfaches von a ist.
Du rechnest c = a × b = (0, 3, -2) und erhälst deinen dritten Vektor.
Kann es nicht sein, dass der Richtungsvekor trotzdem die Gerade schneidet?
Nein, gerade das ist ja die Aussage der linearen Unabhängigkeit. Sei S jetzt der Stützvektor, b der Versatz zum alten Stützvektor und c der neue Richtungsvektor. Für einen Schnittpunkt würde es ein skalares λ und μ geben, für das gilt (Gleichsetzen für Schnittpunkt):
S + λ a = (S + b) + μ c
Etwas umformen ergibt:
b = λ a - μ c
Für das nach der Definition der linearen Unabhängigkeit keine Lösung existieren kann, wenn a, b und c gemeinsam linear unabhängig sind. Demnach kann es auch keinen Schnittpunkt geben.
Die wesentliche graphische Aussage dazu ist "Zwei Geraden sind Windschief, wenn sie nicht in einer gemeinsamen Ebene liegen". Und da Vektoren linear abhängig sind, wenn sie in einer Ebene liegen, kann man sich auch so der Aussage nähern.
Wähle den Richtungsvektor so dass er nicht linear abhängig von der anderen Geraden ist und den Aufpunkt so dass er nicht auf der anderen Geraden liegt. Berechne das Gleichungssystem h(s) = g(t) und verändere den Richtungsvektor bis keine Lösung des Gleichungssystems vor liegt.
Bedeutet: einfach ausprobieren und auf jeden Fall als Stützvektor keinen Punkt auf der Geraden und der Richtungsvektor kein Vielfaches?
Wie prüfe ich, ob sie linear unabhängig sind?