Wie stelle ich möglichst smart eine Windschiefe Geradengleichung auf, wenn ich eine andere Gerade gegeben habe?

Am besten "prüfst" du das überhaupt nicht, sondern erzeugst sie auf eine Weise, bei der das automatisch gegeben ist.

Also einfach keine Vielfachen voneinander? Und klappt das immer? Kann es nicht sein, dass der Richtungsvekor trotzdem die Gerade schneidet?

Beispiel:

Richtungvektor ist a = (1, 2, 3).

Du suchst dir b = (1, 0, 0), der offensichtlich kein Vielfaches von a ist.

Du rechnest c = a × b = (0, 3, -2) und erhälst deinen dritten Vektor.

Kann es nicht sein, dass der Richtungsvekor trotzdem die Gerade schneidet?

Nein, gerade das ist ja die Aussage der linearen Unabhängigkeit. Sei S jetzt der Stützvektor, b der Versatz zum alten Stützvektor und c der neue Richtungsvektor. Für einen Schnittpunkt würde es ein skalares λ und μ geben, für das gilt (Gleichsetzen für Schnittpunkt):

S + λ a = (S + b) + μ c

Etwas umformen ergibt:

b = λ a - μ c

Für das nach der Definition der linearen Unabhängigkeit keine Lösung existieren kann, wenn a, b und c gemeinsam linear unabhängig sind. Demnach kann es auch keinen Schnittpunkt geben.

Alles klar, ich habe zwar nicht alle Begriffe verstanden, aber zumindest das Vorgehen. Und grafisch kann ich mir das auch ganz gut vorstellen.

Die wesentliche graphische Aussage dazu ist "Zwei Geraden sind Windschief, wenn sie nicht in einer gemeinsamen Ebene liegen". Und da Vektoren linear abhängig sind, wenn sie in einer Ebene liegen, kann man sich auch so der Aussage nähern.

genau

Dankeschön