Wie soll ich das beweisen?
Ich soll beweisen, dass gilt:
1+a+a^2+...a^(n-1) = (1-a^n)/1-a
Zwar habe ich mehrere Ansätze, aber keiner scheint zum Ziel zu führen...
4 Antworten
Wenn du beide Seiten mit (1–a) multiplizierst, kannst du vieles Streichen und es bleibt nur noch 1–a^n über.
1+a+a^2+...+a^(n–1) = (1–a^n)/(1–a)
(1+a+a^2+...+a^(n–1))(1–a) = 1–a^n
(1+a+a^2+...+a^(n–1))–(a+a^2+a^3+...+a^n) = 1–a^n
Das sollte als Beweis reichen.
Alternativ kannst du es auch mit dem Summenzeichen übersichtlicher schreiben.
Wenn man beweisen soll, dass die linke Seite einer Gleichung gleich der rechten Seite ist, und es gelingt mir, die linke Seite so umzuformen, dass sie der rechten Seite identisch ist, warum reicht des nicht?
Ich glaube es irgendwie nicht. Ein Glück, dass ich nicht Mathe sondern "nur" Elektrotechnik studiert habe.
Mit meiner Modifikation des Beweises von TBDRM bekommt man auch bei der Matheolympiade sicher die volle Punktzahl.
Von mir aus nenn es übertrieben, aber Matheprofessoren sind nun mal so pingelig. (Und wenn man sich z. B. anschaut, was die so "jenseits der Unendlichkeit" anstellen, kann man es sogar verstehen.)
Alles "darunter", einschl. Physik, akzeptiert solche angedeuteten Reihen.
Es handelt sich ja nicht um eine Reihe, sondern um eine endliche Summe.
Und wenn alle Bedingungen erfüllt sind, kann man doch auch an Reihen äquivalente Umformungen anwenden.
Aber wie gesagt, es handelt sich ja um eine Summe mit endlich vielen Summanden.
Hier gelten ganz normale Rechenregeln. Mit Äquivalenzumformungen kann man es auch beweisen - Beweis ist Beweis, egal was der Prof schöner findet (und ich glaube auch nicht, dass sowas ein Prof wirklich als "flasch" beurteilen würde).
Wobei natürlich bei solch aufgeschriebenen Summen theoretisch alles mögliche als "..." gedeutet werden kann - auch wenn es für einen Menschen klar sein sollte. Das Summenzeichen hätte ich auch bevorzugt. Allerdings ist meine Antwort dennoch nicht falsch (zumindest, wenn man "..." richtig deutet, wovon man aber eigentlich ausgehen dürfte).
Ich würde es mal mit vollständiger Induktion und dem Induktionsschritt
versuchen.
Das sieht mir doch stark nach einer geometrischen Reihe aus.
Betrachte mal :) Daraus folgt deine Form eigentlich direkt.
Klassischer Induktionsbeweis.
Induktionsanfang n = 1, oder, wenn die "leere Summe" als 0 definiert wird, auch n = 0.
Induktionsschluss: alles auf den Hauptnenner bringen und Zähler ausmultiplizieren.
Ich hätte vollständige Induktion verwenden, aber Dein Beweis ist deutlich eleganter.
Es gibt Leute, die keine Äquvalenzumformungen der Behauptung als Beweis akzeptieren. Die müssen dann die linke Seite mit (1-a)/(1-a) multiplizieren und solange umformen, bis die rechte Seite der Behauptung rauskommt. Das ist exakt Dein Beweis, nur dass Du dann immer das (1-a) im Nenner mitschleppst.