Beweis Fundamentalsatz der Integralrechnung?
Der Fundementalsatz der Integralrechnung besagt ja, dass gilt:
der Beweis lautet wie folgt nach Wikipedia:
Ich habe mich jetzt gefragt, ob man diesen Beweis nicht auch analog führen könnte, wenn man
da ja F(a) stets Null bleibt.
Ich habe schon mehrfach versucht, da eine Lücke in diesem Gedanken zu finden, habe ich bis jetzt aber leider nicht.
Warum gilt das zweitere nicht?
Gesamter Beweis (mit letztem Teil, dass Stammfunktion allgemein ist):
3 Antworten
Ja, für c=a gilt F(a) gleich Null und F(b) ist das gesamte Integral. Und darum kann ich schreiben, dass das Integral eben F(b) - F(a) ist. Das ist dann eine spezielle Stammfunktion. Für diese spezielle Stammfunktion wäre dann auch F(b) + F(a) das gesamte Integral.
Hilft nur nix. Weil dann der zweite Satz nicht gilt: "Alle anderen Stammfunktionen unterscheiden sich von jener aber nur durch eine Konstante, die bei der Subtraktion verschwindet."
Bei der Addition verschwindet die Konstante nicht. Und damit kannst du dann nicht mehr von der einen Stammfunktion auf ALLE Stammfunktionen schließen.
Danke für die Antwort!
Darüber hatte ich auch schon nachgedacht, mich hat dann nur verwirrt, dass es in einem anderen Beweis heißt, dass eben das Integral gleich dieser Stammfunktion ist. Dann dachte ich, dass das für den allgemeinen Fall galt, aber vermutlich war das dann nur etwas verkürzt aufgeschrieben und man hätte nur den letzten Satz des Wikipedia-Beweises noch aufschreiben müssen...
"da ja F(a) stets Null bleibt."
Wie kommst du darauf?
Einfaches Beispiel wo das nicht der Fall ist: du hast f(x) = e^x deren F(x) = e^x ist und somit wird doch F(0) = e^0 = 1 oder auch bei F(x) = 5^x wird dann mit x = 0 das F(0) = 5^0 = 1
Und nun?
Es geht darum, dass F(a) stets Null bleibt, wenn das Integral die Grenzen a und a hat. Wie oben ist ja das Integral: "F(x)=\int_{a}^{{x} f(x) dx", woraus zwangsläufig "F(a)=0" folgt (so ist es ja auch im obigen Beweis verwendet worden, denn sonst wäre F(b)-F(a) ja nicht gleich F(b)).
Stammfunktionen sind nur bis auf eine Konstante bestimmt. Für eine Stammfunktion F von f muss gelten: F'=f, und natürlich gilt auch (F+const)' = f, d.g. jede um eine Konstante verschobene Funktion F ist auch eine Stammfunktion.
In deinem Zitat aus Wikipedia steht etwas von einer speziellen Stammfunktion, die so gewählt wurde, dass F(a) = 0 ist. Das ist aber nur eine Stammfunktion, nicht alle, und der Fundamentalsatz der Integralrechnung gilt natürlich für alle Stammfunktionen.
Deinen "Beweis" kann man daher nicht für beliebige Stammfunktionen verwenden.
Ich habe den Beweis der Übersicht halber nicht vollständig abfotografiert, dies habe ich jetzt oben ergänzt. Darin ist dein Argument aufgegriffen und es soll für alle Stammfunktionen gelten. Das ergibt ja auch Sinn, denn:
f(x)=\int_{a}^{x}f(x)dx
=> f(a)=\int_{a}^{a}f(x)dx = F(a)-F(a)=0