Wie rechne ich den minimalen Abstand des Hochpunkts zur Ursprung?
Danke!!!
3 Antworten
Die direkte Verbindung zum Hochpunkt ist die Hypothenuse eines Dreiecks, dessen Katheden aus der x- und der y-Komponenten bestehen. Eine einfache Skizze verdeutlicht das.
Definieren wir den Abstand Urprung-Hochpunkt als A, dann gilt:
A = √x^2 + f^2(x) = √(k-1)^2 + (e^-k * (2 + k^2))^2
Von dieser Funktion müssen wir das Minimum ermitteln.
Also leiten wir erstmal ab. Dabei vereinfachen wir uns die Arbeit, denn da wo die Wurzel das Mimimum hat, hat auch der Ausdruck unter der Wurzel sein Minimum.
also arbeiten wir nun mit g(x) = (k-1)^2 + (e^-k * (2 + k^2))^2 weiter.
g'(x) = -2(k^2 +2)^2 * e^(-2k) + 4k(k^2+2)*e^(-2k) + 2(k-1)
und dass soll = 0 sein:
Das wäre analytisch ziemlich kompliziert zu rechnen. Da bietet sich eine grafische Löung an, indem wir f(x) von einem Funktionenplotter zeichnen lassen und gucken, wo da das Minimum ist:
Der Bereich in höherer Auflösung:
und lesen ab: T(1,299/1,0495)
Lösung: für k = 1,3 liegt H am dichtesten am Ursprung.
Pythagoras hilft:
d² = (k - 1)² + (e^(-k) * (2 + k²))² → Minimum
Der Abstand ist
Für das Minimum kannst du aber auch die Wurzel weglassen.