Minimaler Abstand von Parabel zu Koordinatenursprung?
Hallo, ich bin gerade dabei meine Schulmathematikreste zusammen zu kratzen, aber die Extremwerteaufgaben verstehe ich leider nicht mehr. Aufgabe: U f(×)=x^2-3x+3 P(0/0) An welchem Punkt von f ist der Abstand zu P minimal? Ich habe die beiden jetzt in die Abstandsformel eingesetzt und in Abhängigkeit von u gestellt. Da kam ich dann auf d(u)= Wurzel u^2+(u^2-3u+3)^3 Für u müsste ich jetzt ja jeden beliebigen Wert einsetzten können, um den Abstand von P zu bekommen, oder? Aber wie bekomme ich denn jetzt den richtigen Punkt heraus(also den mit dem minimalsten Abstand zu P) ? Mit herumprobieren wäre man da ja ne Weile beschäftigt... Oder geht das irgendwie mit dem Taschenrechner? Ich habe einen Casio fx-991DE Plus.
Danke im voraus:)
3 Antworten
hinten muss ...)² stehen und nicht ³
und diesen Ausdruck musst du ableiten mit der kettenregel und =0 setzen, dann u berchnen, um den minimalen Abstand zu bekommen.
Da du den kleinsten Abstand, also ein Minimum (=Extremwert), suchst, musst du die Funktion d(u) ableiten und dann gleich 0 setzen und u ausrechnen.
Zwecks Überprüfung, welcher Wert für u ein Minimum ist, musst diese in die 2.Ableitung einsetzen → er muß größer als 0 sein!
Ob dein d(u) stimmt, hab ich jetzt nicht geprüft, schaut aber auf den ersten schnellen Blick gut aus.
Den geringsten Abstant hat die "Normale" an der Stelle xo bis zum Ursprung P(0/0)
Gerade durch den Ursprung ist y=f(x)=mg*x
mit mg=-1/m hier ist m=-1/f´(xo)
xo Schnittstelle von y=mg*x und f(x)=x^2-3*x+3
Normalengleichung yn=fn(x)=-1/f´(xo)*(x-xo)+f(xo)
f(x)=x^2-3*+3 abgeleitet f´(x)=2*x-3
eingesetzt ynf(x)=-1/(2*xo-3)*(x-xo)+xo^2-3*xo+3
mit P(0/0) ergibt
0=-1/(2*xo-3)*(-xo)+xo^2-3*xo+3 multipliziert mit (2*xo-3)
0=2*xo^3-9*xo^2+16*xo-9
Nullstellen bei x1=1 und 2 konjugiert komplexe Lösungen
z1=1,75+i 1,198.. und z2=1,75-i 1,198.. werden aber nicht gebraucht
f(1)=1^2-3*1+3=1
Abstand d=Wurzel(x2-x1)^2+(y2-y1)^2) hier x1=0 und y1=0 und x2=1 y2=1
d=Wurzel(1^2+1^2)=Wurzel(2)
Prüfe auf Rechen-u.Tippfehler.
Vielen Dank erst mal:) So hätte ich es vorher schon probiert. Die Wurzel und die ^2 Lösen sich ja gegenseitig auf und dann steht da ja d(u)= u+u^2-3u+3 dann wäre ja d'(u)= 2u+4 und u=2 aber das kann, wenn ich mir meine Zeichnung so anschaue nicht stimmen...